Непрерывное, биективное отображение на плоскости

[ДДмитрий]

id писал(а):

Что лично меня смущает в соображении - так это сама возможность выбора точек $A,B$.

Добавлено спустя 19 минут 13 секунд:

А чтобы вот это доказать, я и прибегнул в уме к такому рассуждению - пусть выбран $f(K_n)$ как указано выше и он покрывает всю "нижнюю" часть. Тогда можно рассмотреть покрытие $\{ [0,1]\times(\frac 1 k,1)\}_k$, ну или что-то похожее... Тогда из него нельзя будет выделить конечное подпокрытие компакта $f(K_n)$ $\Rightarrow$ противоречие. Аналогично для "верхней" части.

Что меня лично смущает сейчас - так всякие неформализованные "верхние", "нижние" части, ну и да, вот этот вот момент.

Я рассуждал немного по другому. Рассмотрим вертикальный отрезок $I$ : $x=\xi$, $0<\xi<1$, $y\in [0,1]$. Тогда $I\cap f(K_n)$~--- компакт, который не содержит точек с координатами $y=1$ и $y=0$. Это означает, что некоторые окрестности (на отрезке) этих точек не пересекаются с $f(K_n)$. Вот в этих окрестностях и выбираем, произвольным образом, точки $A$ и $B$. Тут нам не нужны "верхние" и "нижние" множества. Но что делать дальше, я не знаю.

Очень возможно, что прав Хорхе и мы не о том думаем.

[id]

ДДмитрий
Можно и так.

Уже было сказано, что

Цитата:

Непрерывный образ линейно связанного множества линейно связан.

То есть, должна была бы существовать непрерывная кривая $L(A,B) \subset [0,1]\times(0,1) \setminus f(K_n)$. Опять же, в силу непрерывности она должна пересекать $f(K_n)$. Т.е. противоречие.

[ДДмитрий]

id писал(а):

ДДмитрий
То есть, должна была бы существовать непрерывная кривая $L(A,B) \subset [0,1]\times(0,1) \setminus f(K_n)$. Опять же, в силу непрерывности она должна пересекать $f(K_n)$. Т.е. противоречие.

Что то пропустил. Почему "она должна пересекать $f(K_n)$"?

[id]

Ну это кажется достаточно очевидным... Может быть, что-то вроде теоремы Жордана можно тут использовать. Или даже проще.

[id]

Что-то мне самому интересно стало. Может, кто нибудь знает, есть ли более-менее регулярный способ решения подобных задач? ( имею ввиду последнее, на что ответил "Очевидно" ). Т.е. не получается напрямую проверить множества на открытость-замкнутость, т.к. нету самого разбиения.


А что касается этого "Очевидно", то тут можно, по-моему, упростить себе задачу: $g(I), f(K_n)$ - компакты, поэтому, если не пересекаются, находятся на положительном расстоянии $\delta$. Можно описать вокруг каждой точки $g(I), f(K_n)$ $\frac \delta 3$-окрестность, выделить конечное покрытие, и получить геометрически более наглядную задачу.