2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 
Сообщение12.04.2006, 17:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Цитата:
Нет. Поскольку троек нет, то указанное требование применять не к чему. А к парам оно не применяется по определению.

Уговорили.
evgeny, видимо есть ошибки- на конкретных примерах не сходится.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.04.2006, 19:14 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
Я успел забыть числа Рамсея, поэтому без напоминания не понял оценку. Тем не менее скажу, что эта оценка сверху отнюдь не лучшая.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.04.2006, 20:49 


31/03/06
1384
(сумма произведений пар векторов)(n-2)=cумме сумм произведений пар в тройке по всем тройкам векторов <= 2 n(n-1)(n-2)/6
Значит z_n\le$n+2 n(n-1)/3

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.04.2006, 21:16 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
Вроде уже договорились писать через $z_n$ квадрат суммы векторов (а не длину суммы), ещё можеть понадобится величина $y_n=z_n-n$. У более хорошей оценки степень от n для $y_n$ меньше (4/3).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.04.2006, 21:20 


31/03/06
1384
Удалено автором.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.04.2006, 21:31 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
Это не верно. Уже для n=5 значение выходит за пределы указанного вами.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.04.2006, 21:41 


31/03/06
1384
Да, я ошибся.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.04.2006, 22:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
236
Руст, снизу та оценка, которую я давал, верна ?
Только, если размерность m, то надо взять m вместо n.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.04.2006, 06:50 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
А какая эта оценка, я что то ничего не нашёл.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.04.2006, 12:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
В трехмерном пространстве для $n=5$ расположение векторов, дающее максимум должно быть таким: из правильного пятиугольника делаем пирамиду, все ребра которой перпендикулярны через одно ребро. Если ребра единичны, то нужно найти высоту, на которую они возвышаются над пятиугольником. Для $n=5$ искомая конструкция дает следующую сумму векторов - $5\sqrt{1-(\frac{\sqrt{2}/2}{\sin({2\pi}/5)})^2}.
Данная конструкция будет работать вплоть до $n=8$ (высота в этом случае равна нулю и искомая сумма векторов тоже). Думаю, что $n=8$ – это последний случай, когда можно удовлетворить условия задачи в трехмерном пространстве.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.04.2006, 12:34 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
Артамонов Ю.Н. писал(а):
В трехмерном пространстве для $n=5$ расположение векторов, дающее максимум должно быть таким: из правильного пятиугольника делаем пирамиду, все ребра которой перпендикулярны через одно ребро.

Такой пирамиды не существует. Минимальная размерность пространства в котором достигается максимальное значение $m(n)$ выглядит так: $m(1)=m(2)=1,m(3)=m(4)=2,m(5)=3,$$m(6)=m(7)=4,m(8)=5,...$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.04.2006, 14:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Наверное Вы что-то не поняли. Ошибок у меня нет, пирамида существует, а мой результат полностью совпадает с Вашим $\sqrt{5\sqrt{5}}$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.04.2006, 16:07 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
Тогда объясните, что значит перпендикулярны через одно ребро. Я вначале понял так: если их расставить по кругу (циклический) как я понимаю, через одно мы дойдём до любого, т.е. все между собой перпендикулярны, что возможно только в пятимерном пространстве.
Сейчас понял, что нет транзитивности, а значит ваша конструкция осмысленная. Да это должно совпадать с моим (только не геометрическим решением). Я представлял их разложение в ортонормированном базисе $(i,j,k)$ так:
$$e_1=i,e_2=j,e_3=a(i+j)-ck,e_4=ai+bk,e_5=aj+bk,a=\frac{\sqrt 5 -1}{2},c=\sqrt{\sqrt 5 -2},b=\sqrt{\frac{\sqrt 5 -1}{2}}.$$
Вообще то, должен признаться геометрическое решение красивее, только жаль, что не обобщается на многомерный случай. Я не знаю существует ли такое красивое решение для семи векторов в четырёхмерном пространстве.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.04.2006, 21:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
К сожалению, не было времени все это подробно расписать.
Берем правильный пятиугольник, отмечаем в нем центр, соединяем центр с вершинами, получаем пять отрезков, каждый отстоит от другого на угол 360/5=72 меньше 90 градусов.
Если брать два таких отрезка через один, то угол между ними 144>90 градусов. Теперь, если мы тянем центр пятиугольника в третье измерение указанные углы уменьшаются, и наступит такой момент, когда углы в 144 градуса станут равны 90 градусов. Легко понять, что при такой конструкции мы всегда удовлетворяем условиям задачи – из каждых трех два перпендикулярны и такое расположение даст максимальную сумму векторов. Далее дело техники.
Для семиугольника указанный угол составляет 102.9 градусов>90 – значит тоже возможно. Для восьмиугольника угол равен 90 градусов и мы должны остаться в плоскости. Для n>8 подобное построение в принципе не возможно, т.е. нельзя в трехмерном пространстве расположить n>8 векторов, так, чтобы из каждых трех два были перпендикулярны, поэтому поиск верхних нижних ограничений здесь как-то неуместен.
По-поводу четырехмерного пространства, конечно, от нашего чувственного восприятия остается только рассуждение по аналогии, а здесь нужно быть осторожным (я, например, думал, что в пространствах размерности выше трех правильных многогранников бесконечно много, а математики уже давно доказали обратное), но попробовать можно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.04.2006, 21:29 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
Причина отсутствия обобщения не в том, что с углами нельзя состыковать. Не удастся выбрать конструкцию, удовлетворяющую основному условию.
Для семи векторов получается так же достаточно симметричная правильная конструкция из семи векторов в четырёхмерном пространстве, поэтому возможно имеется некоторое геометрическое построение. Но я не задумывался над построением такой конструкции. Такие правильные конструкции должны существовать для некоторой серии чисел n. Такие конструкции могут быть связаны с простыми алгебрами Ли, наподобии решёток Линча при упаковке шаров.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 38 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group