сумма векторов

[Руст]

Даю решение основного неравенства. Очевидно, что максимум длины достигается в случае, когда все длины равны 1. Все векторы не перпендикулярное одному из векторов $e_i$ перпендикулярны между собой. Пусть их количество $n_i$, а соответствующий угол $t_i$. Имеем:
(1)

$$z_n=(e_1+e_2+\dots +e_n)^2=n+y_n, y_n=\sum_{i=1}^{n} \sqrt{n_i}\cos{t_i}.$$

Правильные конфигурации получаются, когда имеется ортогональная транзитивная группа переставляющая эти векторы, соответственно все $n_i$ между собой равны.
Тривиальная оценка из (1) $z_n\le n(1+\sqrt{n-1})$.
Но выбирая максимальное из выражений $\sqrt{n_i}\cos{t_i}$ и проводя индукцию отсюда получается оценка:
$z_n<n+(\frac{3n^2}{4})^{2/3}$
На самом деле можно и чуточку уменьшить коэффициент перед неглавным членом n.
Нетривиальные оценки снизу ещё сложне (надо построить явную правильную конфигурацию). Предполагаю, что оценка сверху достаточно точная, т.е. верна оценка снизу с другими коэффициентами перед главным членом. Только мне не удалось это доказать.

[evgeny]

Что имеется ввиду под максимумом $\sqrt{n_i}\cos{ t_i}$ (есть какие-нибудь соображения для оценки $\cos{t_i}$)?
А как вы проводили индукцию для получения оценки $cn^{4/3}$ ?

[Руст]

Предположим, что максимум $\sqrt{n_i}\cos{t_i}$ достигается при $i=n$ и не перпендикулярные к нему векторы $e_{n-k+1},e_{n-k+2},...,e_{n-1} \ (n_n=k-1)$.
Допустим, что оценка верна при для малых $n$, в частности она верна для векторов $e_1,e_2,...,e_{n-k-1}$. Для начальных n это проверяется. Тогда получаем:
$z_n=z_{n-k}+2(e_1+e_2+...+e_{n-k})(e_{n-k+1}+....+e_{n-1})+(e_{n-k+1}+....+e_n)^2$
Это дает оценку:
$y_n\le y_{n-k}+2\sqrt{k-1}(\cos t +\sqrt{n-k+y_{n-k}}\sin t), y_n=z_n-n, t=t_n$
Это приводит к указанной оценке.

[evgeny]

Как я понял рассматриваются вектора $e_n,\ S_0=e_1+...+e_{n-k}, S_1 = e_{n-k+1}+...+e_{n-1}$. Угол между $e_n$ и $S_1$ по определению $t_n$, но вот почему $(S_0,S_1)\le |S_0||S_1|\sin{t_n}$ мне непонятно.
Пусть все $t_i=\frac{\pi}{2}$ (если у этому нет явных противоречий). Тогда выбор $n_i$ осуществляется просто - самое большее (на самом деле непонятно зачем выбириать $\max\ {\sqrt{n_i}\cos{t_i}}$ если нас интересует $\min\ {y_{n-n_i-1}+2\sqrt{n_i}(\cos{t_i}+\sqrt{z_{n-n_i-1}}\sin{t_i})}$)

Чтобы доказать оценку по индукции, надо оценить снизу значение $k(n)=\max{n_i}$.
Числа Рамсея (в данном случае тривиальные индуктивные рассуждения) дают оценку $k(n)\ge\sqrt{2n}$ что в итоге приводит к $z_n\le cn^{3/2}$.
Как Вы оценивали снизу величину $n_i$?

[Руст]

В ваших обозначениях три вектора $e_n,S_0,S_1,$. Первые два вектора перпендикулярны, поэтому косинус угла между вторым и третьим вектором не превосходит синус угла между первым и третьим. Можете вначале попробовать доказать без этих углов. Оценка со степеннью $4/3$ всё равно получится, только коэффициент перед ним будет побольше.

[evgeny]

Действительно, $(S_0,S_1)\le |S_0||S_1|\sin{t_n}$, но допустим все $t_i>\frac {\pi}{3}$, тогда все синусы-косинусы можно заменить константой.

Ваше неравенство эквивалентно слудующему:

$$ z_n\le z_{n-k}+k +2\sqrt{k-1}(\cos{t}+\sqrt{z_{n-k}}\sin{t}) $$

Если верно более сильное неравенство

$$ z_n\le z_{n-k}+(k-1)\sin{t}^2 +2\sqrt{k-1}\sqrt{z_{n-k}}\sin{t} $$

то получаем
$\sqrt{z_n}\le \sqrt{k-1}\sin{t}+\sqrt{z_{n-k}}$
Если предположить, что $\sin{t}\ge a = const$, то для док-ва по индукции оценки $z_n\le bn^{4/3}$ требуется доказать $k(n)\ge cn^{2/3}$

Достаточно легко показать, что $k(n)\ge c\sqrt{n}$, но почему $k(n)\ge cn^{2/3}$ мне неочевидно

[Руст]

Доказываем по индукции, что
$z_n-n=y_n\le f(n)=(\frac{3n^2}{4})^{2/3}.$
Мы получили, что
(1) $z_n\le \min(n\sqrt l \cos t,z_{n-k}+2\sqrt l \cos t \min(l,l_1}),l=k-1,l_1=1+\sqrt{z_{n-k}} \tg t $.
Для того, чтобы проходил шаг индукции достаточно, чтобы при
(2) $(\frac{f(n)}{n\cos t})^2\le l=n_n=k-1\le n-2 $
выполнялось условие
(3) $f(n)-f(n-l-1)\ge 2\sqrt l \cos t \min(l,l_1),n\ge 8$
Имеем
$g(x)=\frac{f(n)-f(n-l-1)}{\sqrt l}=(3/4)^{2/3}\frac{[n^{4/3}-(n-l-1)^{4/3}]}{\sqrt l}$
Исследуя функцию $g(x)$ методами анализа убеждаемся, в том, шаг индукции проходит.

[evgeny]

Я все понял, если $k(n) \le cn^{2/3}$ , тогда $z_n\le\sqrt{c}\ n^{1+\frac 13}$, что и требуется