сумма векторов

[juna]

Цитата:

Нет. Поскольку троек нет, то указанное требование применять не к чему. А к парам оно не применяется по определению.

Уговорили.
evgeny, видимо есть ошибки- на конкретных примерах не сходится.

[Руст]

Я успел забыть числа Рамсея, поэтому без напоминания не понял оценку. Тем не менее скажу, что эта оценка сверху отнюдь не лучшая.

[Феликс Шмидель]

(сумма произведений пар векторов)(n-2)=cумме сумм произведений пар в тройке по всем тройкам векторов <= 2 n(n-1)(n-2)/6
Значит z_n\le$n+2 n(n-1)/3

[Руст]

Вроде уже договорились писать через $z_n$ квадрат суммы векторов (а не длину суммы), ещё можеть понадобится величина $y_n=z_n-n$. У более хорошей оценки степень от n для $y_n$ меньше (4/3).

[Феликс Шмидель]

Удалено автором.

[Руст]

Это не верно. Уже для n=5 значение выходит за пределы указанного вами.

[Феликс Шмидель]

Да, я ошибся.

[Genrih]

Руст, снизу та оценка, которую я давал, верна ?
Только, если размерность m, то надо взять m вместо n.

[Руст]

А какая эта оценка, я что то ничего не нашёл.

[juna]

В трехмерном пространстве для $n=5$ расположение векторов, дающее максимум должно быть таким: из правильного пятиугольника делаем пирамиду, все ребра которой перпендикулярны через одно ребро. Если ребра единичны, то нужно найти высоту, на которую они возвышаются над пятиугольником. Для $n=5$ искомая конструкция дает следующую сумму векторов - $5\sqrt{1-(\frac{\sqrt{2}/2}{\sin({2\pi}/5)})^2}.
Данная конструкция будет работать вплоть до $n=8$ (высота в этом случае равна нулю и искомая сумма векторов тоже). Думаю, что $n=8$ – это последний случай, когда можно удовлетворить условия задачи в трехмерном пространстве.

[Руст]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

В трехмерном пространстве для $n=5$ расположение векторов, дающее максимум должно быть таким: из правильного пятиугольника делаем пирамиду, все ребра которой перпендикулярны через одно ребро.

Такой пирамиды не существует. Минимальная размерность пространства в котором достигается максимальное значение $m(n)$ выглядит так: $m(1)=m(2)=1,m(3)=m(4)=2,m(5)=3,$$m(6)=m(7)=4,m(8)=5,...$

[juna]

Наверное Вы что-то не поняли. Ошибок у меня нет, пирамида существует, а мой результат полностью совпадает с Вашим $\sqrt{5\sqrt{5}}$

[Руст]

Тогда объясните, что значит перпендикулярны через одно ребро. Я вначале понял так: если их расставить по кругу (циклический) как я понимаю, через одно мы дойдём до любого, т.е. все между собой перпендикулярны, что возможно только в пятимерном пространстве.
Сейчас понял, что нет транзитивности, а значит ваша конструкция осмысленная. Да это должно совпадать с моим (только не геометрическим решением). Я представлял их разложение в ортонормированном базисе $(i,j,k)$ так:

$$e_1=i,e_2=j,e_3=a(i+j)-ck,e_4=ai+bk,e_5=aj+bk,a=\frac{\sqrt 5 -1}{2},c=\sqrt{\sqrt 5 -2},b=\sqrt{\frac{\sqrt 5 -1}{2}}.$$

Вообще то, должен признаться геометрическое решение красивее, только жаль, что не обобщается на многомерный случай. Я не знаю существует ли такое красивое решение для семи векторов в четырёхмерном пространстве.

[juna]

К сожалению, не было времени все это подробно расписать.
Берем правильный пятиугольник, отмечаем в нем центр, соединяем центр с вершинами, получаем пять отрезков, каждый отстоит от другого на угол 360/5=72 меньше 90 градусов.
Если брать два таких отрезка через один, то угол между ними 144>90 градусов. Теперь, если мы тянем центр пятиугольника в третье измерение указанные углы уменьшаются, и наступит такой момент, когда углы в 144 градуса станут равны 90 градусов. Легко понять, что при такой конструкции мы всегда удовлетворяем условиям задачи – из каждых трех два перпендикулярны и такое расположение даст максимальную сумму векторов. Далее дело техники.
Для семиугольника указанный угол составляет 102.9 градусов>90 – значит тоже возможно. Для восьмиугольника угол равен 90 градусов и мы должны остаться в плоскости. Для n>8 подобное построение в принципе не возможно, т.е. нельзя в трехмерном пространстве расположить n>8 векторов, так, чтобы из каждых трех два были перпендикулярны, поэтому поиск верхних нижних ограничений здесь как-то неуместен.
По-поводу четырехмерного пространства, конечно, от нашего чувственного восприятия остается только рассуждение по аналогии, а здесь нужно быть осторожным (я, например, думал, что в пространствах размерности выше трех правильных многогранников бесконечно много, а математики уже давно доказали обратное), но попробовать можно.

[Руст]

Причина отсутствия обобщения не в том, что с углами нельзя состыковать. Не удастся выбрать конструкцию, удовлетворяющую основному условию.
Для семи векторов получается так же достаточно симметричная правильная конструкция из семи векторов в четырёхмерном пространстве, поэтому возможно имеется некоторое геометрическое построение. Но я не задумывался над построением такой конструкции. Такие правильные конструкции должны существовать для некоторой серии чисел n. Такие конструкции могут быть связаны с простыми алгебрами Ли, наподобии решёток Линча при упаковке шаров.