Непрерывное, биективное отображение на плоскости

[ДДмитрий]

Уважаемые участники!

Подскажите, какие возможны подходы к решению задачи

Существует ли непрерывное и биективное отображение f:
а) $[0,1]$ в $[0,1] \times [0,1]$,
б) $(0,1]\times [0,1)$ в $[0,1]\times (0,1)$,
в) $(0,1)\times [0,1]$ в $[0,1]\times [0,1]$?

На пункт а), насколько я понимаю, ответ негативный (кривая Пеано не проходит, поскольку имеет самопересечения), но как это доказать?

[Хорхе]

1. Докажите: если есть непрерывная инъекция компакта, обратная тоже непрерывна; то есть это гомеоморфизм.
Если выкинуть точку из отрезка и из квадрата, какое существенное отличие между множествами, что получатся? Могут они быть гомеоморфны?

[ДДмитрий]

Спасибо за ответ!

Хорхе писал(а):

1. Докажите: если есть непрерывная инъекция компакта, обратная тоже непрерывна; то есть это гомеоморфизм.

Доказал. Для пункта а) это означает, что существует непрерывное биективное отображение f : [0,1]\times [0,1]\to [0,1], чего, конечно, не может быть (например, легко установить противоречие с теоремой о промежуточном значении непрерывной функции).

Хорхе писал(а):

Если выкинуть точку из отрезка и из квадрата, какое существенное отличие между множествами, что получатся? Могут они быть гомеоморфны?

Полагаю, что квадрат (без точки, без одной стороны и т.д.) не может быть гомеоморфным отрезку (с точкой или без точки), поскольку нету биекции между границами этих множеств. Но как нам это поможет в пунктах б) и в), ведь (0,1]\times [0,1) и (0,1)\tmes [0,1] не компакты!?

Или я еще что то не додумал?

[id]

ДДмитрий
Отрезок без одной внутренней точки несвязен. А квадрат? Может ли соответственно быть непрерывное отображение?

Что касается второй... То ответ мне неизвестен ( кажется, что это невозможно ), но, может быть, следует подумать в направлении:
Рассмотреть компакты $K_n: [\frac 1 n,1] \times [0,1 - \frac 1 n] \subset (0,1] \times [0,1)$ и их образы $f(K_n)$. При этом объединение всех $K_n$ равно $(0,1] \times [0,1)$, а $f(K_n)$ - $[0,1]\times(0,1)$. Никакое $f(K_n)$ не должно разбивать $[0,1]\times(0,1)$ на несвязанные подмножества; при этом ${f(K_n)}_n$ - возрастающая последовательность связанных компактных множеств. А вот нужно бы было доказать, что это неизбежно, что у меня пока не получается.

Add:
Хотя, может быть, можно сделать так - для некоторых точек $(0,s) \in [0,1]\times(0,1)$ и $(1,s) \in [0,1]\times(0,1)$ должен существовать компакт $K_n$, образ которого $f(K_n)$ содержит их обе. При этом $f(K_n)$ связен и разбивает $[0,1]\times(0,1)$ на две несвязанные компоненты $\Rightarrow$ противоречие.

[Хорхе]

ДДмитрий писал(а):

Спасибо за ответ!
Полагаю, что квадрат (без точки, без одной стороны и т.д.) не может быть гомеоморфным отрезку (с точкой или без точки), поскольку нету биекции между границами этих множеств. Но как нам это поможет в пунктах б) и в), ведь (0,1]\times [0,1) и (0,1)\tmes [0,1] не компакты!?

Или я еще что то не додумал?

Я говорил насчет ответа на пункт а)

Два других не знаю. Легко построить непрерывную биекцию в в), если добавить пару точек к левому множеству. В пункте б) можно построить непрерывную биекцию в обратном направлении, опять-таки если добавить точку.

[ДДмитрий]

Спасибо всем за участие.

id писал(а):

ДДмитрий
Отрезок без одной внутренней точки несвязен. А квадрат? Может ли соответственно быть непрерывное отображение?

Так и я о том же, только в терминах теоремы о промежуточном значении.

id писал(а):

Хотя, может быть, можно сделать так - для некоторых точек $(0,s) \in [0,1]\times(0,1)$ и $(1,s) \in [0,1]\times(0,1)$ должен существовать компакт $K_n$, образ которого $f(K_n)$ содержит их обе. При этом $f(K_n)$ связен и разбивает $[0,1]\times(0,1)$ на две несвязанные компоненты $\Rightarrow$ противоречие.

Я тоже об этом думал, но окончательного решения пока не нашел.

Хорхе писал(а):

Два других не знаю. Легко построить непрерывную биекцию в в), если добавить пару точек к левому множеству. В пункте б) можно построить непрерывную биекцию в обратном направлении, опять-таки если добавить точку.

Если не сложно, опишите конструкцию, которой вы пользуетесь для построения таких биекций. Возможно, мне это поможет решить исходную задачу, да и вообще интересно.

[Хорхе]

ДДмитрий писал(а):

Если не сложно, опишите конструкцию, которой вы пользуетесь для построения таких биекций. Возможно, мне это поможет решить исходную задачу, да и вообще интересно.

Конструкция чрезвычайно простая. Представьте квадрат $ABCD$, в котором выкинули сторону $AB$, но оставили точку $A$. Возьмем и приложим сторону $AD$ к стороне $AB$ так, чтобы точки $B$ и $D$ совпали (напомню, что точек стороны $AB$, кроме точки $A$, у нас нет, так что это биекция). Получилась непрерывная биекция в нечто, гомеоморфное замкнутому квадрату.
Если у Вас есть квадрат, из которого выкинули стороны $AB$ и $CD$, но оставили вершины $A$ и $D$, можно провести эту процедуру дважды и получить замкнутый квадрат.

Конечно, если вершины не оставлены, то такой финт не выйдет, потому что внутри квадрата останется точечная дырка.

[id]

ДДмитрий
В своих соображениях по поводу второй задачи я пока явных ошибок не нашел, быть может, оно и правда так.

[ДДмитрий]

id писал(а):

ДДмитрий
В своих соображениях по поводу второй задачи я пока явных ошибок не нашел, быть может, оно и правда так.

Меня смущает геометрически очевидное утверждение о том, что $\bigl([0,1]\times (0,1)\bigr) \setminus f(K_n)$~--- несвязное множество. Я не силен в топологии и возможно это просто (уж слишком очевидно), но как точно доказать, я не знаю.

Вот если бы удалось установить, что множеству $f(K_n)$ принадлежат не только две точки $(0,s)$ и $(1,s)$, а весь отрезок их соединяющий, тогда все верно.

[id]

ДДмитрий
Так ведь $f(K_n)$ связанно. Прообразы точек $(0,s)$ и $(1,s)$ в $K_n$ можно соединить отрезком $J$, его образ будет соединять точки $(0,s)$ и $(1,s)$. При этом $J = g(t): t\in I$, где g - непрерывное отображение, тогда $f(J) = f(g(t)), t\in I$, а композиция непрерывных отображений непрерывна.

[ДДмитрий]

id писал(а):

ДДмитрий
Так ведь $f(K_n)$ связанно. Прообразы точек $(0,s)$ и $(1,s)$ в $K_n$ можно соединить отрезком $J$, его образ будет соединять точки $(0,s)$ и $(1,s)$. При этом $J = g(t): t\in I$, где g - непрерывное отображение, тогда $f(J) = f(g(t)), t\in I$, а композиция непрерывных отображений непрерывна.

Вопрос не в том. Вопрос почему $\bigl([0,1]\times(0,1)\bigr)\setminus f(K_n)$~--- несвязное множество? Пусть у нас есть две точки $\{A,B\} \subset \bigl([0,1]\times(0,1)\bigr)\setminus f(K_n)$. Чего это ради не существует непрерывной кривой, соединяющей эти две точки и лежащий внутри $\bigl([0,1]\times(0,1)\bigr)\setminus f(K_n)$? Повторяю, геометрически это практически очевидно, но кто его знает какие разные непрерывные кривые, соединающие $A$ и $B$, можно провести.

[id]

ДДмитрий
А вот тут я как раз и сам был не до конца уверен.
Моя идея была в том, что для любого данного связанного компакта, содержащего точки $(0,s)$ и $(1,s)$, $f(K_n)$ можно выбрать точку $A$ из "верхней" и $B$ из "нижней" части. В противном случае, если бы хотя бы одну точку выбрать было нельзя, это бы означло, что компакт покрывает всю "верхнюю\нижнюю" часть. Но тогда можно доказать, что он не был бы компактом.

[ДДмитрий]

id писал(а):

ДДмитрий
А вот тут я как раз и сам был не до конца уверен.
Моя идея была в том, что для любого данного связанного компакта, содержащего точки $(0,s)$ и $(1,s)$, $f(K_n)$ можно выбрать точку $A$ из "верхней" и $B$ из "нижней" части. В противном случае, если бы хотя бы одну точку выбрать было нельзя, это бы означло, что компакт покрывает всю "верхнюю\нижнюю" часть. Но тогда можно доказать, что он не был бы компактом.

Вот и я об этом. Если бы был весь отрезок (или функция, именно функция в системе XOY, а не кривая), а не две точки, то можно было бы опять воспользоваться теоремой о промежуточном значении непрерывной функции.

Полагаю, что трудности тут чисто формальные (по причине нашего незнания типичных приемов в топологии). Может кто то из более образованных подскажет как тут быть.

[Хорхе]

Да что тут подсказать. Я чувствую, что непрерывная биекция все же существует. Потому что если вдруг нет, то, как мне кажется, надо использовать чрезвычайно тонкие методы, чтобы доказать отсутствие, а не такие прямо топорные. Почему мне так кажется? Да потому, что все-таки если добавить точку-две, то биекция существует. Рассуждение, которое зависит от одной точки, должно быть очень тонкое.

Возможно, все это и не так. Скажем, для пункта б) левое множество гомеоморфно замкнутому кругу без точки на "ободе", правое --- без двух точек. Все-таки, если добавить по паре точек, такого счастья уже не будет.

То есть мой вам совет --- если уже и пытаетесь доказать отсутствие, делайте это не в первоначальной формулировке, а перейдите к выеденным кругам.

[id]

Немного не понял.

Цитата:

Непрерывный образ линейно связанного множества линейно связен.

Тут же, если выбрать точки $A,B$, как написано выше, всякая непрерывная кривая, их соединяющая, пересечет $f(K_n)$, или точнее, любую непрерывную кривую, соединяющую в $f(K_n)$ точки $(0,s)$ и $(1,s)$.

Что лично меня смущает в соображении - так это сама возможность выбора точек $A,B$.

Добавлено спустя 19 минут 13 секунд:

А чтобы вот это доказать, я и прибегнул в уме к такому рассуждению - пусть выбран $f(K_n)$ как указано выше и он покрывает всю "нижнюю" часть. Тогда можно рассмотреть покрытие $\{ [0,1]\times(\frac 1 k,1)\}_k$, ну или что-то похожее... Тогда из него нельзя будет выделить конечное подпокрытие компакта $f(K_n)$ $\Rightarrow$ противоречие. Аналогично для "верхней" части.

Что меня лично смущает сейчас - так всякие неформализованные "верхние", "нижние" части, ну и да, вот этот вот момент.