Немного не понял.
Цитата:
Непрерывный образ линейно связанного множества линейно связен.
Тут же, если выбрать точки

, как написано выше, всякая непрерывная кривая, их соединяющая, пересечет

, или точнее, любую непрерывную кривую, соединяющую в

точки

и

.
Что лично меня смущает в соображении - так это сама возможность выбора точек

.
Добавлено спустя 19 минут 13 секунд:
А чтобы вот это доказать, я и прибегнул в уме к такому рассуждению - пусть выбран

как указано выше и он покрывает всю "нижнюю" часть. Тогда можно рассмотреть покрытие
![$\{ [0,1]\times(\frac 1 k,1)\}_k$ $\{ [0,1]\times(\frac 1 k,1)\}_k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/f/1/af1b81af3c19495c3700dd660d5ec4a882.png)
, ну или что-то похожее... Тогда из него нельзя будет выделить конечное подпокрытие компакта

противоречие. Аналогично для "верхней" части.
Что меня лично смущает сейчас - так всякие неформализованные "верхние", "нижние" части, ну и да, вот этот вот момент.