Как строго доказать предел числ. последовательности?

[NikolayTishakin]

Решаю типовые задачи на доказательство предела последовательности.
Задача такая: Докажите, используя определение предела что

$\lim \frac{3n + 2}{2n + 3} = \frac{3}{2}$

Ну и мое решение такое
Определение предела:

$\alpha \text{ предел последовательнсти } a_n \text{ если } \forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} \quad \text{такое что для } \forall n > N \text{ выполняется } \mid a_n - \alpha \mid < \varepsilon$

Упрощаю формулу последовательности
$\frac{3n + 2}{2n + 3} = \frac{5}{4n+3}$
Тут заменяю пока что на очевидное неравенство для простоты
$\frac{5}{4n+3} < \frac{5}{4n}$
Теперь остается доказать что
$\frac{5}{4n} < \varepsilon$
Отсюда $ n > \frac{5}{4\varepsilon}$

Вот на этом этапе у меня возникает сложность в понимани как строго продолжать доказательство

Я пришел к тому что при $ n > \frac{5}{4\varepsilon}$ таком n будет выполнятся требуемое неравенство для любого $\varepsilon > 0$
То есть получается что N из определения предела должно быть $\text N > \frac{5}{4\varepsilon}$
Следовательно, из определения предела для $\forall{n} > N$ все члены последовательности будут лежать в эпсилон окресности доказуемого предела.

Но как это доказать это формально, и для всех возможных эпсилон окресностей.
Ведь если поменять в этом примере доказываемый предел на другую дробь, то изменитcя формула большого N, и действительно если брать некоторые эпсилон то неравенство окресностей эпсилон
выполнятся небудет, но как это правильно и логично доказать для всех эпсилон окресностей ?

[mihaild]

NikolayTishakin в сообщении #1601706 писал(а):

Упрощаю формулу последовательности
$\frac{3n + 2}{2n + 3} = \frac{5}{4n+3}$

Это какое-то странное равенство. При $n = 0$ слева $2/3$, справа $5/3$.

NikolayTishakin в сообщении #1601706 писал(а):

Но как это доказать это формально, и для всех возможных эпсилон окресностей

Ну так и доказывать. Для любого $\varepsilon > 0$ существует $N = \lceil \frac{5}{4 \varepsilon} \rceil$, что $\forall n > N$ и дальше показываете, что значение отличается от предела мало.

NikolayTishakin в сообщении #1601706 писал(а):

Ведь если поменять в этом примере доказываемый предел на другую дробь, то изменитcя формула большого N

Изменится, и придется доказывать отдельно. Общего доказательства на любые пределы не получится.

[Dedekind]

NikolayTishakin в сообщении #1601706 писал(а):

Но как это доказать это формально, и для всех возможных эпсилон окресностей.

Так уже доказано. Вы нашли, что $\text N > \frac{5}{4\varepsilon}$. Все, в эту формулу можно подставлять любой $\varepsilon > 0$, и она всегда выдаст соответствующий $N$, удовлетворяющий определению предела.

[NikolayTishakin]

mihaild в сообщении #1601708 писал(а):

NikolayTishakin в сообщении #1601706 писал(а):

Упрощаю формулу последовательности
$\frac{3n + 2}{2n + 3} = \frac{5}{4n+3}$

Это какое-то странное равенство.

Извините, имел ввиду это выражение $\frac{3n + 2}{2n + 3} - \frac{3}{2}$ - тоесть то что под модулем меньше епсилон

-- 20.07.2023, 00:57 --

Dedekind в сообщении #1601710 писал(а):

NikolayTishakin в сообщении #1601706 писал(а):

Но как это доказать это формально, и для всех возможных эпсилон окресностей.

Так уже доказано. Вы нашли, что $\text N > \frac{5}{4\varepsilon}$. Все, в эту формулу можно подставлять любой $\varepsilon > 0$, и она всегда выдаст соответствующий $N$, удовлетворяющий определению предела.

Но ведь получается что таким образом можно доказать другой предел для этой последовательности, главное выразить N ?

[Евгений Машеров]

NikolayTishakin в сообщении #1601706 писал(а):

Упрощаю формулу последовательности
$\frac{3n + 2}{2n + 3} = \frac{5}{4n+3}$

Либо Вы что-то напутали в записи, имея в виду нечто иное, либо напутали в самой идее замены - но в любом случае неверно.

[EUgeneUS]

NikolayTishakin в сообщении #1601712 писал(а):

имел ввиду это выражение $\frac{3n + 2}{2n + 3} - \frac{3}{2}$ -

Очередная неаккуртаность: $\frac{3n+2}{2n+3} - \frac{3}{2} = -\frac{5}{4n+6}$
Впрочем, на само доказательство она не повлияла.

NikolayTishakin в сообщении #1601712 писал(а):

Но ведь получается что таким образом можно доказать другой предел для этой последовательности, главное выразить N ?

Попробуйте

[Евгений Машеров]

Выносим 3/2 за отношение, представляем числитель, как знаменатель+нечто, делим дробь, рассматривает "нечто", делённое на знаменатель...

(Оффтоп)

На этом Шахразада прекращает дозволенные речи...

[NikolayTishakin]

EUgeneUS в сообщении #1601732 писал(а):

NikolayTishakin в сообщении #1601712 писал(а):

имел ввиду это выражение $\frac{3n + 2}{2n + 3} - \frac{3}{2}$

Очередная неаккуртаность: $\frac{3n+2}{2n+3} - \frac{3}{2} = -\frac{5}{4n+6}$

Да, это так, я тут слишком пропустил то что я сокращаю - на самом деле это выражение с модулем

$| a_n - \alpha | < \varepsilon$

Из определения предела, а про шестерку да - неаккуратность

[TOTAL]

NikolayTishakin в сообщении #1601706 писал(а):

Задача такая: Докажите, используя определение предела что
$\lim \frac{3n + 2}{2n + 3} = \frac{3}{2}$

Не докажете, это неверное утверждение.

[NikolayTishakin]

TOTAL в сообщении #1601750 писал(а):

NikolayTishakin в сообщении #1601706 писал(а):

Задача такая: Докажите, используя определение предела что
$\lim \frac{3n + 2}{2n + 3} = \frac{3}{2}$

Не докажете, это неверное утверждение.

Хмм, это пример из учебника Киркинского Мат Анализ

Да и вроде по графику действительно 1.5 будет

Ну я вот и пытаюсь понять, как так доказать на 100% верность предела, сведя рассуждение к аксиомам

[Евгений Машеров]

NikolayTishakin в сообщении #1601755 писал(а):

Хмм, это пример из учебника Киркинского Мат Анализ

Думается, в учебнике выражение немного - но отличается. Что нужно добавить?

[NikolayTishakin]

Евгений Машеров в сообщении #1601756 писал(а):

NikolayTishakin в сообщении #1601755 писал(а):

Хмм, это пример из учебника Киркинского Мат Анализ

Думается, в учебнике выражение немного - но отличается. Что нужно добавить?

Вот пример в)

https://pasteboard.co/lg8LLsNogSH2.png

[TOTAL]

NikolayTishakin в сообщении #1601755 писал(а):

Хмм, это пример из учебника Киркинского Мат Анализ

Нечто не является правильным только потому, что оно написано на заборе.

[Null]

Принято указывать к чему стремиться переменная. Даже в числовых последовательностях.
У вас уже написано доказательство. Если думаете что предел может быть другим- выпишите явно. Сами увидите ошибку или вам тут подскажут.

[NikolayTishakin]

TOTAL в сообщении #1601758 писал(а):

NikolayTishakin в сообщении #1601755 писал(а):

Хмм, это пример из учебника Киркинского Мат Анализ

Нечто не является правильным только потому, что оно написано на заборе.

Да, это понятно, я не имел ввиду что если в учебнике то правильно

-- 20.07.2023, 11:49 --

Null в сообщении #1601759 писал(а):

Принято указывать к чему стремиться переменная. Даже в числовых последовательностях.
У вас уже написано доказательство. Если думаете что предел может быть другим- выпишите явно. Сами увидите ошибку или вам тут подскажут.

Понял, придерживался правила что если n стремится к бесконечности то можно не указывать

-- 20.07.2023, 11:55 --

Null в сообщении #1601759 писал(а):

Принято указывать к чему стремиться переменная. Даже в числовых последовательностях.
У вас уже написано доказательство. Если думаете что предел может быть другим- выпишите явно. Сами увидите ошибку или вам тут подскажут.

Просто в таком случае, если то что я написал в доказательстве верно
То получается что единственное что нужно чтобы доказать предел это вывести при каких N будет выполнятся условие эпсилон окресности
Тоесть получается что если мы вывели неравенсво которое нам сообщает как N зависит от эпсилон и это неравенство такое что N просто несуществует - то тогда это не предел последовательности

Например допустим пришли к $N < -3\varepsilon$ получается так как у нас N это натуральное число, а есилон берется больше нуля то таких N просто нет
и выбранный предел - точно не предел исследуемой последовательности