2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Как строго доказать предел числ. последовательности?
Сообщение20.07.2023, 00:29 
Решаю типовые задачи на доказательство предела последовательности.
Задача такая: Докажите, используя определение предела что

$\lim \frac{3n + 2}{2n + 3} = \frac{3}{2}$

Ну и мое решение такое
Определение предела:

$\alpha \text{ предел последовательнсти } a_n \text{ если }  
\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} \quad \text{такое что для } \forall n  > N 
\text{ выполняется }  \mid a_n - \alpha \mid <  \varepsilon$

Упрощаю формулу последовательности
$\frac{3n + 2}{2n + 3} = \frac{5}{4n+3}$
Тут заменяю пока что на очевидное неравенство для простоты
$\frac{5}{4n+3} < \frac{5}{4n}$
Теперь остается доказать что
$\frac{5}{4n} < \varepsilon$
Отсюда $ n > \frac{5}{4\varepsilon}$

Вот на этом этапе у меня возникает сложность в понимани как строго продолжать доказательство

Я пришел к тому что при $ n > \frac{5}{4\varepsilon}$ таком n будет выполнятся требуемое неравенство для любого $\varepsilon > 0$
То есть получается что N из определения предела должно быть $\text N > \frac{5}{4\varepsilon}$
Следовательно, из определения предела для $\forall{n}  > N$ все члены последовательности будут лежать в эпсилон окресности доказуемого предела.

Но как это доказать это формально, и для всех возможных эпсилон окресностей.
Ведь если поменять в этом примере доказываемый предел на другую дробь, то изменитcя формула большого N, и действительно если брать некоторые эпсилон то неравенство окресностей эпсилон
выполнятся небудет, но как это правильно и логично доказать для всех эпсилон окресностей ?

 
 
 
 Re: Как строго доказать предел числ. последовательности?
Сообщение20.07.2023, 01:02 
Аватара пользователя
NikolayTishakin в сообщении #1601706 писал(а):
Упрощаю формулу последовательности
$\frac{3n + 2}{2n + 3} = \frac{5}{4n+3}$
Это какое-то странное равенство. При $n = 0$ слева $2/3$, справа $5/3$.
NikolayTishakin в сообщении #1601706 писал(а):
Но как это доказать это формально, и для всех возможных эпсилон окресностей
Ну так и доказывать. Для любого $\varepsilon > 0$ существует $N = \lceil \frac{5}{4 \varepsilon} \rceil$, что $\forall n > N$ и дальше показываете, что значение отличается от предела мало.
NikolayTishakin в сообщении #1601706 писал(а):
Ведь если поменять в этом примере доказываемый предел на другую дробь, то изменитcя формула большого N
Изменится, и придется доказывать отдельно. Общего доказательства на любые пределы не получится.

 
 
 
 Re: Как строго доказать предел числ. последовательности?
Сообщение20.07.2023, 01:04 
NikolayTishakin в сообщении #1601706 писал(а):
Но как это доказать это формально, и для всех возможных эпсилон окресностей.

Так уже доказано. Вы нашли, что $\text N > \frac{5}{4\varepsilon}$. Все, в эту формулу можно подставлять любой $\varepsilon > 0$, и она всегда выдаст соответствующий $N$, удовлетворяющий определению предела.

 
 
 
 Re: Как строго доказать предел числ. последовательности?
Сообщение20.07.2023, 01:34 
mihaild в сообщении #1601708 писал(а):
NikolayTishakin в сообщении #1601706 писал(а):
Упрощаю формулу последовательности
$\frac{3n + 2}{2n + 3} = \frac{5}{4n+3}$

Это какое-то странное равенство.


Извините, имел ввиду это выражение $\frac{3n + 2}{2n + 3} - \frac{3}{2}$ - тоесть то что под модулем меньше епсилон

-- 20.07.2023, 00:57 --

Dedekind в сообщении #1601710 писал(а):
NikolayTishakin в сообщении #1601706 писал(а):
Но как это доказать это формально, и для всех возможных эпсилон окресностей.

Так уже доказано. Вы нашли, что $\text N > \frac{5}{4\varepsilon}$. Все, в эту формулу можно подставлять любой $\varepsilon > 0$, и она всегда выдаст соответствующий $N$, удовлетворяющий определению предела.


Но ведь получается что таким образом можно доказать другой предел для этой последовательности, главное выразить N ?

 
 
 
 Re: Как строго доказать предел числ. последовательности?
Сообщение20.07.2023, 08:00 
Аватара пользователя
NikolayTishakin в сообщении #1601706 писал(а):
Упрощаю формулу последовательности
$\frac{3n + 2}{2n + 3} = \frac{5}{4n+3}$


Либо Вы что-то напутали в записи, имея в виду нечто иное, либо напутали в самой идее замены - но в любом случае неверно.

 
 
 
 Re: Как строго доказать предел числ. последовательности?
Сообщение20.07.2023, 08:19 
Аватара пользователя
NikolayTishakin в сообщении #1601712 писал(а):
имел ввиду это выражение $\frac{3n + 2}{2n + 3} - \frac{3}{2}$ -


Очередная неаккуртаность: $\frac{3n+2}{2n+3} - \frac{3}{2} = -\frac{5}{4n+6}$
Впрочем, на само доказательство она не повлияла.

NikolayTishakin в сообщении #1601712 писал(а):
Но ведь получается что таким образом можно доказать другой предел для этой последовательности, главное выразить N ?


Попробуйте :wink:

 
 
 
 Re: Как строго доказать предел числ. последовательности?
Сообщение20.07.2023, 09:47 
Аватара пользователя
Выносим 3/2 за отношение, представляем числитель, как знаменатель+нечто, делим дробь, рассматривает "нечто", делённое на знаменатель...

(Оффтоп)

На этом Шахразада прекращает дозволенные речи...

 
 
 
 Re: Как строго доказать предел числ. последовательности?
Сообщение20.07.2023, 12:08 
EUgeneUS в сообщении #1601732 писал(а):
NikolayTishakin в сообщении #1601712 писал(а):
имел ввиду это выражение $\frac{3n + 2}{2n + 3} - \frac{3}{2}$



Очередная неаккуртаность: $\frac{3n+2}{2n+3} - \frac{3}{2} = -\frac{5}{4n+6}$


Да, это так, я тут слишком пропустил то что я сокращаю - на самом деле это выражение с модулем

$| a_n -  \alpha |  <  \varepsilon$

Из определения предела, а про шестерку да - неаккуратность

 
 
 
 Re: Как строго доказать предел числ. последовательности?
Сообщение20.07.2023, 12:10 
Аватара пользователя
NikolayTishakin в сообщении #1601706 писал(а):
Задача такая: Докажите, используя определение предела что
$\lim \frac{3n + 2}{2n + 3} = \frac{3}{2}$
Не докажете, это неверное утверждение.

 
 
 
 Re: Как строго доказать предел числ. последовательности?
Сообщение20.07.2023, 12:29 
TOTAL в сообщении #1601750 писал(а):
NikolayTishakin в сообщении #1601706 писал(а):
Задача такая: Докажите, используя определение предела что
$\lim \frac{3n + 2}{2n + 3} = \frac{3}{2}$
Не докажете, это неверное утверждение.


Хмм, это пример из учебника Киркинского Мат Анализ

Да и вроде по графику действительно 1.5 будет

Ну я вот и пытаюсь понять, как так доказать на 100% верность предела, сведя рассуждение к аксиомам

 
 
 
 Re: Как строго доказать предел числ. последовательности?
Сообщение20.07.2023, 12:34 
Аватара пользователя
NikolayTishakin в сообщении #1601755 писал(а):
Хмм, это пример из учебника Киркинского Мат Анализ


Думается, в учебнике выражение немного - но отличается. Что нужно добавить?

 
 
 
 Re: Как строго доказать предел числ. последовательности?
Сообщение20.07.2023, 12:38 
Евгений Машеров в сообщении #1601756 писал(а):
NikolayTishakin в сообщении #1601755 писал(а):
Хмм, это пример из учебника Киркинского Мат Анализ


Думается, в учебнике выражение немного - но отличается. Что нужно добавить?


Вот пример в)

https://pasteboard.co/lg8LLsNogSH2.png

 
 
 
 Re: Как строго доказать предел числ. последовательности?
Сообщение20.07.2023, 12:45 
Аватара пользователя
NikolayTishakin в сообщении #1601755 писал(а):
Хмм, это пример из учебника Киркинского Мат Анализ
Нечто не является правильным только потому, что оно написано на заборе.

 
 
 
 Re: Как строго доказать предел числ. последовательности?
Сообщение20.07.2023, 12:46 
Принято указывать к чему стремиться переменная. Даже в числовых последовательностях.
У вас уже написано доказательство. Если думаете что предел может быть другим- выпишите явно. Сами увидите ошибку или вам тут подскажут.

 
 
 
 Re: Как строго доказать предел числ. последовательности?
Сообщение20.07.2023, 12:48 
TOTAL в сообщении #1601758 писал(а):
NikolayTishakin в сообщении #1601755 писал(а):
Хмм, это пример из учебника Киркинского Мат Анализ
Нечто не является правильным только потому, что оно написано на заборе.


Да, это понятно, я не имел ввиду что если в учебнике то правильно

-- 20.07.2023, 11:49 --

Null в сообщении #1601759 писал(а):
Принято указывать к чему стремиться переменная. Даже в числовых последовательностях.
У вас уже написано доказательство. Если думаете что предел может быть другим- выпишите явно. Сами увидите ошибку или вам тут подскажут.


Понял, придерживался правила что если n стремится к бесконечности то можно не указывать

-- 20.07.2023, 11:55 --

Null в сообщении #1601759 писал(а):
Принято указывать к чему стремиться переменная. Даже в числовых последовательностях.
У вас уже написано доказательство. Если думаете что предел может быть другим- выпишите явно. Сами увидите ошибку или вам тут подскажут.


Просто в таком случае, если то что я написал в доказательстве верно
То получается что единственное что нужно чтобы доказать предел это вывести при каких N будет выполнятся условие эпсилон окресности
Тоесть получается что если мы вывели неравенсво которое нам сообщает как N зависит от эпсилон и это неравенство такое что N просто несуществует - то тогда это не предел последовательности

Например допустим пришли к $N < -3\varepsilon$ получается так как у нас N это натуральное число, а есилон берется больше нуля то таких N просто нет
и выбранный предел - точно не предел исследуемой последовательности

 
 
 [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group