Как строго доказать предел числ. последовательности?

[Null]

NikolayTishakin в сообщении #1601760 писал(а):

Тоесть получается что если мы вывели неравенсво которое нам сообщает как N зависит от эпсилон и это неравенство такое что N просто несуществует - то тогда это не предел последовательности

Например допустим пришли к $N < -3\varepsilon$ получается так как у нас N это натуральное число, а есилон берется больше нуля то таких N просто нет
и выбранный предел - точно не предел исследуемой последовательности

Не совсем. Можно например получить $\frac{100}{\varepsilon}<n<\frac{1000}{\varepsilon}$- такое нас тоже не устоит.

[Dedekind]

NikolayTishakin в сообщении #1601760 писал(а):

Тоесть получается что если мы вывели неравенсво которое нам сообщает как N зависит от эпсилон и это неравенство такое что N просто несуществует - то тогда это не предел последовательности

Да. Причем вовсе не обязательно, чтобы $N$ не существовало для всех $\varepsilon$. Достаточно несуществования для одного любого $\varepsilon>0$. Например, попробуйте подставить $1$ в качестве предполагаемого предела в Ваш пример.

[NikolayTishakin]

Null в сообщении #1601763 писал(а):

NikolayTishakin в сообщении #1601760 писал(а):

Тоесть получается что если мы вывели неравенсво которое нам сообщает как N зависит от эпсилон и это неравенство такое что N просто несуществует - то тогда это не предел последовательности

Например допустим пришли к $N < -3\varepsilon$ получается так как у нас N это натуральное число, а есилон берется больше нуля то таких N просто нет
и выбранный предел - точно не предел исследуемой последовательности

Не совсем. Можно например получить $\frac{100}{\varepsilon}<n<\frac{1000}{\varepsilon}$- такое нас тоже не устоит.

Да, я это и имел ввиду, тоетсь невозможность существования такого N в общем смысле если говорить

-- 20.07.2023, 12:40 --

Dedekind в сообщении #1601764 писал(а):

NikolayTishakin в сообщении #1601760 писал(а):

Тоесть получается что если мы вывели неравенсво которое нам сообщает как N зависит от эпсилон и это неравенство такое что N просто несуществует - то тогда это не предел последовательности

Да. Причем вовсе не обязательно, чтобы $N$ не существовало для всех $\varepsilon$. Достаточно несуществования для одного любого $\varepsilon>0$. Например, попробуйте подставить $1$ в качестве предполагаемого предела в Ваш пример.

Тоесть получается что если из конечного неравенства которое демонстрирует какое должно быть N в зависимости от $\varepsilon$, видно что N существует для всех $\varepsilon$
Например $ N > 2 \varepsilon$ - тут для любых епсилон найдется N которое подходит, то получается исследуемый предел и есть настоящий предел ?

[Null]

NikolayTishakin в сообщении #1601766 писал(а):

Например $ N > 2 \varepsilon$ - тут для любых епсилон найдется N которое подходит, то получается исследуемый предел и есть настоящий предел ?

Да. Но $ N > 2 \varepsilon$- только если последовательность состоит из одного и того же числа(докажите).

[NikolayTishakin]

Null в сообщении #1601771 писал(а):

NikolayTishakin в сообщении #1601766 писал(а):

Например $ N > 2 \varepsilon$ - тут для любых епсилон найдется N которое подходит, то получается исследуемый предел и есть настоящий предел ?

Да. Но $ N > 2 \varepsilon$- только если последовательность состоит из одного и того же числа(докажите).

Понял, спасибо

$ N > 2 \varepsilon$ а это я так из головы взял просто продемонстрировать очевидное существование N для любого епсилон

[gefest_md]

NikolayTishakin в сообщении #1601706 писал(а):

как строго продолжать доказательство

NikolayTishakin в сообщении #1601706 писал(а):

Но как доказать это формально

Не теряйте из виду предложение с кванторами. Двигайтесь по нему шаг за шагом.

Вы допустили, что $\varepsilon$ - произвольное положительное число. Вы взяли в качестве $N$ некоторое натуральное число большее, чем $\frac{5}{4\varepsilon}\text{ -}$

NikolayTishakin в сообщении #1601706 писал(а):

То есть получается что N из определения предела должно быть $\text N > \frac{5}{4\varepsilon}$

- и остановились на третьем кванторе $\forall n>N.$ Дальше нужно ввести новую произвольную натуральную переменную $n$ и допустить, что оно больше $N.$ Нахождение Вами $N$ не входит в доказательство, но что-то повторяете на последнем шаге (смотрите предложение), доказывая цепочку: $\left|\frac{3n+2}{2n+3}-\frac32\right|<\dots<\varepsilon.$

[NikolayTishakin]

gefest_md в сообщении #1601790 писал(а):

NikolayTishakin в сообщении #1601706 писал(а):

как строго продолжать доказательство

NikolayTishakin в сообщении #1601706 писал(а):

Но как доказать это формально

Не теряйте из виду предложение с кванторами. Двигайтесь по нему шаг за шагом.

Вы допустили, что $\varepsilon$ - произвольное положительное число. Вы взяли в качестве $N$ некоторое натуральное число большее, чем $\frac{5}{4\varepsilon}\text{ -}$

NikolayTishakin в сообщении #1601706 писал(а):

То есть получается что N из определения предела должно быть $\text N > \frac{5}{4\varepsilon}$

- и остановились на третьем кванторе $\forall n>N.$ Дальше нужно ввести новую произвольную натуральную переменную $n$ и допустить, что оно больше $N.$ Нахождение Вами $N$ не входит в доказательство, но что-то повторяете на последнем шаге (смотрите предложение), доказывая цепочку: $\left|\frac{3n+2}{2n+3}-\frac32\right|<\dots<\varepsilon.$

Спасибо!

Я примерно уже понял почему мне писали что я "уже как бы доказал"
Проблема в понимании была в том что я вывел какое должно быть то самое граничное N после которого все члены последовательности лежат в эпсилон окресности
Но мне казалось что "так ведь можно для другого числа спокойно вывести", но как оказалось нет, получаются неравенства зависимости N от эпсилон такие, что N вообще не существует
Либо очевидно есть только некоторые эпсилон которые нам подойдут, а надо то все.