Системы полных ортогональных функций в области.

[Pulseofmalstrem]

Добрый день. Мне хотелось бы найти математическую литературу или статьи на тему построения полной системы функций для разложения в функциональные ряды для функций заданных в некоторой области.
Например, для функций заданных на отрезке данный вопрос вполне разрешается в рамках гармонического анализа. Однако если исходные функции заданы не на отрезке, а на некоторой области в $R^n$, например. Мне интересно где можно найти известные на эту тему результаты. Быть может не для произвольной области, поскольку это очевидно очень трудный вопрос, а для какого-то класса областей.

[мат-ламер]

Pulseofmalstrem в сообщении #1601508 писал(а):

Мне хотелось бы найти математическую литературу или статьи

Не берусь ответить на ваш вопрос, ибо такой литературы не знаю. Скорее присоединяюсь к вопросу, ибо он мне тоже интересен. Однако, интересуюсь спросить, вам нужны теоретические результаты или вычислительные алгоритмы? Думаю, что если область не слишком сложная и $n$ невелико, то систему ортогональных функций можно построить и самому, хотя бы методом ортогонализации Грама-Шмидта. Наверное для каких-то простых случаев (квадрат, сфера) всё уже построено и изучено, но я не в курсе.

[Pulseofmalstrem]

мат-ламер
Меня интересует данный вопрос с точки зрения приложений в теории оптимизации. А именно мне хотелось бы попробовать построить интегральные методы для оптимизации, которые можно было бы попробовать применить для задач не-выпуклой оптимизации. Поэтому в качестве основного примера интересной мне области является некоторый полигон в $R^n$.

Чтобы было понятно о чем идет речь. Приведу примерную схему метода, который можно было бы на основе гармонического анализа предложить для оптимизации не-выпуклой функции на отрезке в предположении, что для этой функции существует ряд Фурье.

1. Вычисляем коэффициенты Фурье вплоть до необходимой точности с помощью численного интегрирования или быстрого Фурье преобразования.

2. Затем разбиваем отрезок на промежутки знако-постоянства тригонометрических функций, которые вошли в разложение функции. Для каждого такого промежутка используем оценки снизу и сверху для тригонометрических функций для получения оценки на сумму ряда.

3. Находим промежуток с лучшей оценкой. И таким образом сужаем область поиска глобального оптимума.

Я не уверен, что такая наивная схема даст правильный результат, но во всяком случае это, скорее всего возможно, и это в теории позволяет избегать проблемы локальных оптимумов. А после того как мы достаточно локализовали оптимум - можно уже применять выпуклые алгоритмы и просто спустится к оптимуму. Но одномерный случай - это скорее игрушка, потому что реальные задачи - они многомерны. А в многомерии - нужно по области оптимизации подбирать систему ортогональных функций, чтобы попробовать сделать нечто подобное. Вот отсюда я и пришел к вопросу о том: как эту самую систему строить. Подумалось, может вопрос уже исследовался.

[ozheredov]

Pulseofmalstrem в сообщении #1601537 писал(а):

в качестве основного примера интересной мне области является некоторый полигон в $R^n$

А $n$ большое? 1, 5, 100, 1000000000000000?

Pulseofmalstrem в сообщении #1601537 писал(а):

1. Вычисляем коэффициенты Фурье вплоть до необходимой точности с помощью численного интегрирования или быстрого Фурье преобразования.

На этом этапе мы уже миллиард раз вызовем целевую функцию, так?

Pulseofmalstrem в сообщении #1601537 писал(а):

2. Затем разбиваем отрезок на промежутки знако-постоянства тригонометрических функций, которые вошли в разложение функции. Для каждого такого промежутка используем оценки снизу и сверху для тригонометрических функций для получения оценки на сумму ряда.

3. Находим промежуток с лучшей оценкой. И таким образом сужаем область поиска глобального оптимума.

Не проще ли роевые алгоритмы (Монте-Карло с сужением поисковой области), или те же GA? На первый взгляд кажется, что число вызовов targetFUN() будет не больше, а жручих операций типа скалярного произведения - меньше.

[мат-ламер]

Заголовок темы:

Pulseofmalstrem в сообщении #1601508 писал(а):

Системы полных ортогональных функций в области

А так уж нужно именно ортогональных в области функций? Может достаточно просто окружить нашу область прямоугольником и построить систему ортогональных функций в этом прямоугольнике? Дело в том, что построение ортогональных функций именно в области (если это не некоторая стандартная область) довольно затратная процедура.

[Евгений Машеров]

Pulseofmalstrem в сообщении #1601537 писал(а):

Чтобы было понятно о чем идет речь. Приведу примерную схему метода, который можно было бы на основе гармонического анализа предложить для оптимизации не-выпуклой функции на отрезке в предположении, что для этой функции существует ряд Фурье.

1. Вычисляем коэффициенты Фурье вплоть до необходимой точности с помощью численного интегрирования или быстрого Фурье преобразования.

2. Затем разбиваем отрезок на промежутки знако-постоянства тригонометрических функций, которые вошли в разложение функции. Для каждого такого промежутка используем оценки снизу и сверху для тригонометрических функций для получения оценки на сумму ряда.

3. Находим промежуток с лучшей оценкой. И таким образом сужаем область поиска глобального оптимума.

Я не уверен, что такая наивная схема даст правильный результат, но во всяком случае это, скорее всего возможно, и это в теории позволяет избегать проблемы локальных оптимумов. А после того как мы достаточно локализовали оптимум - можно уже применять выпуклые алгоритмы и просто спустится к оптимуму.

А точно это лучше тупого перебора по сетке? При нём, во всяком случае, операций меньше.

[Vince Diesel]

Для ограниченной области есть собственные функции задачи Дирихле для уравнения Лапласа, скажем. Любая функция из $L_2$ разлагается в ряд по ним.