Некоторые определения и соглашенияФизическое тело - непроизводное понятие, которое нельзя определить, но можно проиллюстрировать. Примеры: атом, я, звезда, галактика.
Событие - то, что случается с
физическими телами. Пример: "Муха села на варенье" - это
событие.
Пространство событий - совокупность всех возможных
событий. Будем считать, что
пространство событий локально устроено как четырёхмерное вещественное пространство

.
Координаты событий - упорядоченная четвёрка вещественных чисел

, которую иногда будем обозначать одной буквой

, отмечающая
события так, что разным четвёркам чисел соответствуют различные
события.
Интервал 
- вообще говоря комплексное число, квадрат которого даётся выражением

, где по дважды повторяющимся индексам подразумевается суммирование в диапазоне от

до

.
Договоримся, что греческие индексы будут принимать значения

, а латинские:

. Так что, например,

.
Итервал связывает два бесконечно близких
события 
и

, создавая между ними некое "метрическое отношение".
Метрика - десять функций

четырёх переменных

, входящих в определение
интервала.
Времениподобный интервал -
интервал, квадрат которого положителен. Важный тип "метрического отношения", означающий, что два отмеченных события могут принадлежать истории одного и того же
физического тела.
Мировая линия - кривая в

, каждый элементарный
интервал которой
времениподобен. Всякое
физическое тело движется по какой-нибудь
мировой линии.Система отсчёта - континуум
мировых линий, "заметающих"
пространство событий так, что через каждое
событие проходит ровно одна
мировая линия.
§1 Системы отсчёта и сопутствующие координатыПусть задан интервал, в котором линии

являются мировыми. Это сразу даёт условие

с учётом которого квадрат интервала может быть представлен в виде

Введём ряд величин, которыми будем в дальнейшем постоянно пользоваться

В новых терминах интервал

принимает канонический вид

Отсюда можно вывести, что квадратичная форма

определяет радарное расстояние между двумя бесконечно близкими мировыми линиями с пространственными координатами

и

. Критерием положительной определённости этой формы является выполнение следующих неравенств

Отметим что из последнего неравенства следует существование матрицы

со свойством

Попробуем сформулировать условия

в терминах

. Для этого выразим компоненты метрического тензора через величины

. Ковариантные компоненты находятся сразу

Для нахождения контравариантных компонент распишем тождества

и получим следующую систему уравнений

Откуда находим

где введено обозначение

Рассмотрим теперь определитель

и воспользуемся известной формулой

Подставляя сюда

и

, находим

Значит, при вычислении

можно положить

, что даёт

Заметим, что при выводе никак не использовался тот факт, что латинские индексы пробегают именно три значения. Поэтому совершенно аналогично можно получить

а также

Отсюда, применяя

и вспоминая

, находим

Теперь мы можем сформулировать следующий критерий.
Будем считать, что координатная запись интервала "задаёт" систему отсчёта тогда и только тогда, когда компоненты метрического тензора удовлетворяют неравенствам

. Такие координаты будем называть
сопутствующими определяемой ими системе отсчёта.
ЗадачаИнтервал имеет вид
![$$(\delta s)^2 =\left( 1-\dfrac{1}{r} \right) (dt)^2-\dfrac{r}{r-1} (dr)^2-r^2 \left[ (d \theta )^2+\sin^2(\theta) (d \varphi)^2 \right] $$ $$(\delta s)^2 =\left( 1-\dfrac{1}{r} \right) (dt)^2-\dfrac{r}{r-1} (dr)^2-r^2 \left[ (d \theta )^2+\sin^2(\theta) (d \varphi)^2 \right] $$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/3/6f3b174783fd9a2e8f5642cf3d4d914e82.png)
В каких областях изменения координат

(и при каком выборе

) линии

являются мировыми?