2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ... 34  След.
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение12.07.2023, 16:55 


13/05/16
361
Москва
natalya_1 в сообщении #1600673 писал(а):
Значит, и наше первоначальное предположение было неверным.

Проблема в том, что ваше доказательство подходит и для действительных чисел тоже. Представьте, что вы ищете решения уравнения $a^m+b^m=c^m$ в действительных числах, где $a,b$ натуральные. Все ваши условия выполняются. Не понимаю, где конкретно используется именно целочисленность

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение12.07.2023, 17:16 


29/08/09
691
Antoshka в сообщении #1600747 писал(а):
natalya_1 в сообщении #1600673 писал(а):
Значит, и наше первоначальное предположение было неверным.

Проблема в том, что ваше доказательство подходит и для действительных чисел тоже. Представьте, что вы ищете решения уравнения $a^m+b^m=c^m$ в действительных числах, где $a,b$ натуральные. Все ваши условия выполняются. Не понимаю, где конкретно используется именно целочисленность

Как где? Всё там же. Невозможность делимости $\frac{c^2d}{cd-p}$ (или $\frac{a^{m-1}+b^{m-1}}{c}$)

"Но если существуют две такие точки, и $0+h+c=\frac{c^2d}{cd-p}$, то $a+a_1=\frac{c^2d}{cd-p}$,
что невозможно, поскольку
$(cd-p)a^{m}-c^{2}da^{m-1}+c^{2}pa^{m-2}=(cd-p)a_1^{m}-c^{2}da_1^{m-1}+c^{2}pa_1^{m-2}$ "

Так что, моё доказательство именно для целых взаимно простых чисел.

Чтобы уравнение имело решение в целых числах необходимо чтобы $\frac{c^2d}{cd-p}$, $\frac{cp}{cd-p}$ были целыми числами ($\frac{a^{m-1}+b^{m-1}}{a^{m-2}+b^{m-2}}$ было целым числом)
Для иррациональных чисел моё доказательство не подходит

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение12.07.2023, 18:49 


13/05/16
361
Москва
natalya_1 в сообщении #1600673 писал(а):
существует либо две точки , в которых она принимает одинаковые отрицательные значения ,$a$ и $a_1$, (или только одна, если $a$ -критическая точка), либо, две точки в которых она принимает одинаковые положительные значения ,$a$ и $a_1$ ( (или только одна, если $a$ -критическая точка).

А почему не может быть трех точек, где функция принимает одно и то же значение? Нуль это ведь корень четной кратности и при переходе через него знак производной не меняется

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение12.07.2023, 18:58 


29/08/09
691
Antoshka в сообщении #1600760 писал(а):
natalya_1 в сообщении #1600673 писал(а):
существует либо две точки , в которых она принимает одинаковые отрицательные значения ,$a$ и $a_1$, (или только одна, если $a$ -критическая точка), либо, две точки в которых она принимает одинаковые положительные значения ,$a$ и $a_1$ ( (или только одна, если $a$ -критическая точка).

А почему не может быть трех точек, где функция принимает одно и то же значение? Нуль это ведь корень четной кратности и при переходе через него знак производной не меняется

Потому что при $m>3$ $0$ -критическая точка, и $0<b<h<a<c$
natalya_1 в сообщении #1600673 писал(а):



3.1.1.Найдём критические точки функции
$y=(cd-p)x^{m}-c^{2}dx^{m-1}+c^{2}px^{m-2}$
$y'=m(cd-p)x^{m-1}-(m-1)c^2dx^{m-2}+(m-2)c^2px^{m-3}$
$y'=0$ если $x=0$ или
$m(cd-p)x^2-(m-1)c^2dx+(m-2)c^2px=0$
$D=(m-1)^2c^4d^2-4m(m-2)(cd-p)c^2p=c^2((m-1)^2c^2d^2-4m(m-2)cdp+4m(m-2)p^2)$
$x=\frac{c^2d\mp{c\sqrt{(m-1)^2c^2d^2-4m(m-2)cdp+4m(m-2)p^2}}}{2m(cd-p)}$


 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение12.07.2023, 19:25 


13/05/16
361
Москва
natalya_1 в сообщении #1600673 писал(а):
если существуют две такие точки, и $0+h+c=\frac{c^2d}{cd-p}$, то $a+a_1=\frac{c^2d}{cd-p}$,
что невозможно

Фактически вы записываете теорему Виета для вашего уравнения вида $y(x)=A$, то есть в любом случае нужно учитывать все три корня этого уравнения, пусть даже один из корней больше $c$

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение12.07.2023, 19:31 


29/08/09
691
Antoshka в сообщении #1600764 писал(а):
natalya_1 в сообщении #1600673 писал(а):
если существуют две такие точки, и $0+h+c=\frac{c^2d}{cd-p}$, то $a+a_1=\frac{c^2d}{cd-p}$,
что невозможно

Фактически вы записываете теорему Виета для вашего уравнения вида $y(x)=A$, то есть в любом случае нужно учитывать все три корня этого уравнения, пусть даже один из корней больше $c$

Да нет корня больше $c$ . Нарисуйте график, увидите

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение12.07.2023, 21:27 


13/05/16
361
Москва
natalya_1 в сообщении #1600767 писал(а):
Да нет корня больше $c$ . Нарисуйте график, увидите

Он выглядит так же примерно, как и ваш жирный график на картинке, которую вы тут выкладывали, разве нет? Проведите горизонтально линию на вашей картинке и тогда будет видно, что существует именно три точки, в которых ваша функция принимает одно и то же значение. Правда один из корней соответствующего уравнения не удовлетворяет условию корень меньше $c$, либо корень больше нуля, в зависимости от того, какие именно одинаковые значения принимает ваша функция, но при записи теоремы Виета нужно учитывать все три корня, а у вас только два записаны

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение12.07.2023, 21:30 


29/08/09
691
Antoshka в сообщении #1600773 писал(а):
natalya_1 в сообщении #1600767 писал(а):
Да нет корня больше $c$ . Нарисуйте график, увидите

Он выглядит так же примерно, как и ваш жирный график на картинке, которую вы тут выкладывали, разве нет?

В том-то и дело, что нет. Если $m>3$, доказательство сильно упрощается. Потому что появляется еще одна критическая точка - $0$.
Возьмите этот жирный график и поверните сегмент от $0$ вверх. Корень $a_1$ теряется

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение13.07.2023, 07:39 


29/08/09
691
Писала в ночи, неправильно посчитала критические точки, будет вот так


3.1.1.Найдём критические точки функции
$y=(cd-p)x^{m}-c^{2}dx^{m-1}+c^{2}px^{m-2}$
$y'=m(cd-p)x^{m-1}-(m-1)c^2dx^{m-2}+(m-2)c^2px^{m-3}$
$y'=0$ если $x=0$ или
$m(cd-p)x^2-(m-1)c^2dx+(m-2)c^2p=0$
$D=(m-1)^2c^4d^2-4m(m-2)(cd-p)c^2p=c^2((m-1)^2c^2d^2-4m(m-2)cdp+4m(m-2)p^2)$
$x=\frac{(m-1)c^2d\mp{c\sqrt{(m-1)^2c^2d^2-4m(m-2)cdp+4m(m-2)p^2}}}{2m(cd-p)}$

3.1.1 поскольку
функция $y=(cd-p)x^{m}-c^{2}dx^{m-1}+c^{2}px^{m-2}$ является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях $x$ и ее значение равно нулю в точках 0, h и с,
существует либо две точки , в которых она принимает одинаковые отрицательные значения ,если $f(a)<0$, $a$ и $a_1$, (или только одна, если $a$ -критическая точка), либо, две точки в которых она принимает одинаковые положительные значения , если $f(a)>0$, $a$ и $a_1$ ( (или только одна, если $a$ -критическая точка), .
Эти числа действительные (поскольку если они они комплексные, Это противоречит существованию рационального $h$ между $a$ и $b$

Но если существуют две такие точки, и $0+h+c=\frac{c^2d}{cd-p}$, то $a+a_1=\frac{c^2d}{cd-p}$,
что невозможно, поскольку
$(cd-p)a^{m}-c^{2}da^{m-1}+c^{2}pa^{m-2}=(cd-p)a_1^{m}-c^{2}da_1^{m-1}+c^{2}pa_1^{m-2}$,
$\frac{(c^2d-a(cd-p))^{m-2}}{(cd-p)^{m-2}}(\frac{(c^2d-a(cd-p))^2-c^2d(c^2d-a(cd-p))+c^2p(cd-p)}{cd-p})=a^{m-2}(a^2(cd-p)-c^2da+c^2p)$,
$\frac{(c^2d-a(cd-p))^{m-2}}{(cd-p)^{m-2}}(\frac{(-c^2da(cd-p)+c^2p(cd-p)+a^2(cd-p)^2)}{cd-p})=a^{m-2}(a^2(cd-p)-c^2da+c^2p)$,
$\frac{(c^2d-a(cd-p))^{m-2}}{(cd-p)^{m-2}}(a^2(cd-p)-c^2(ad-p))$ -целое число.
но
$\frac{c^2d}{cd-p}$ не может быть целым числом, этот вариант невозможен.

Остаётся только вариант, $a$-критическая точка.

$a=\frac{(m-1)c^2d+{c\sqrt{(m-1)^2c^2d^2-4m(m-2)cdp+4m(m-2)p^2}}}{2m(cd-p)}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение13.07.2023, 07:50 


22/11/22
599
natalya_1 в сообщении #1600792 писал(а):
Это противоречит существованию рационального $h$ между $a$ и $b$

Где постулировалось существование оного?

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение13.07.2023, 08:08 


29/08/09
691
Combat Zone в сообщении #1600793 писал(а):
natalya_1 в сообщении #1600792 писал(а):
Это противоречит существованию рационального $h$ между $a$ и $b$

Где постулировалось существование оного?

$h$ существует между $a$ и $b$, поскольку в точках $a$ и $b$ функция принимает одинаковое значение разных знаков. Найдя численное значение, выяснили, что $h$ рационально, $h=\frac{cp}{cd-p}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение13.07.2023, 09:32 


13/05/16
361
Москва
natalya_1 в сообщении #1600774 писал(а):
том-то и дело, что нет. Если $m>3$, доказательство сильно упрощается. Потому что появляется еще одна критическая точка - $0$.
Возьмите этот жирный график и поверните сегмент от $0$ вверх. Корень $a_1$ теряется

А вы учитываете, что уравнение нечетной степени всегда имеет нечетное количество действительных корней? И что если есть два корня, как вы утверждаете, значит есть как минимум ещё один! А в точке $x=0$ имеет место горизонтальная касательная с точкой перегиба. Решите уравнение $f''(x)=0$ и увидите, что нуль это точка перегиба!

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение13.07.2023, 15:06 


29/08/09
691
Antoshka в сообщении #1600799 писал(а):
natalya_1 в сообщении #1600774 писал(а):
том-то и дело, что нет. Если $m>3$, доказательство сильно упрощается. Потому что появляется еще одна критическая точка - $0$.
Возьмите этот жирный график и поверните сегмент от $0$ вверх. Корень $a_1$ теряется

А вы учитываете, что уравнение нечетной степени всегда имеет нечетное количество действительных корней? И что если есть два корня, как вы утверждаете, значит есть как минимум ещё один! А в точке $x=0$ имеет место горизонтальная касательная с точкой перегиба. Решите уравнение $f''(x)=0$ и увидите, что нуль это точка перегиба!

Получается, что в случае нечётной степени $a$ - это это критическая точка, действительный корень один,
в случае чётной степени действительных корней два.
Я же рассматриваю все степени $m>3$
Получается что в случае нечётных степеней $b$ -тоже критическая точка, и
$a+b=\frac{(m-1)c^2d}{m(cd-p)}$, что возможно только если $\frac{m-1}{cd-p}$ -целое число
$\frac{m}{c^2}$ -целое число.
Я не успела ночью всё расписать, буду сегодня продолжать.
Пусть $m=tc^2$, тогда$(a+b)tc^2(cd-p)=(m-1)c^2d$,
$t(a+b)(cd-p)=(m-1)(a^{m-2}+b^{m-2}-c^{m-2})$,
$\frac{(m-1)c^{m-2}}{a+b}$ - целое число, $\frac{(kc^2-1)c^{m-2}}{a+b}$ -целое число,
$\frac{c^m-2}{a+b}$ -целое число, что невозможно, поскольку $\frac{c^m}{a+b}$ -целое число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение13.07.2023, 15:40 


13/05/16
361
Москва
natalya_1 в сообщении #1600839 писал(а):
случае чётной степени действительных корней два.
Я же рассматриваю все степени $m>3$

Четные можно не рассматривать ВООБЩЕ! Достаточно нечетные, причём простые только
natalya_1 в сообщении #1600792 писал(а):
то $a+a_1=\frac{c^2d}{cd-p}$,

Вот это равенство неверно, ибо теорема Виета для вашего уравнения степени $m$ записывается в виде суммы ВСЕХ ПЯТИ его корней, если $m=5$, а не только двух, как у вас! Куда делись оставшиеся три корня?

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение13.07.2023, 15:59 


29/08/09
691
Antoshka в сообщении #1600842 писал(а):
natalya_1 в сообщении #1600839 писал(а):
случае чётной степени действительных корней два.
Я же рассматриваю все степени $m>3$

Четные можно не рассматривать ВООБЩЕ! Достаточно нечетные, причём простые только
natalya_1 в сообщении #1600792 писал(а):
то $a+a_1=\frac{c^2d}{cd-p}$,

Вот это равенство неверно, ибо теорема Виета для вашего уравнения степени $m$ записывается в виде суммы ВСЕХ ПЯТИ его корней, если $m=5$, а не только двух, как у вас! Куда делись оставшиеся три корня?

Я же уже сказала, что это для чётных степеней. В этом случае два других корня - не действительные числа.
Если степень нечётная, один корень действительный

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 508 ]  На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ... 34  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group