Итак, дана матрица

. Сначала докажем, что для нее при натуральном

(0, как обычно, считаем натуральным. Хотя, с одной стороны, при

, с одной стороны, и будет можно считать, что мы будем использовать доказанную формулу, а с другой стороны, можно будет считать, что и не будем использовать: всё будет зависеть от того, какое начальное значение индекса суммирования мы возьмем в сигме, знаке сумме, при записи экспоненты через ряд - 0 или 1) справедлива следующая формула:

. Доказывать будем индукцией. При

эта формула верна. Пусть, как обычно, она верна при

, докажем ее для

:


, ч. т.д. Теперь приступаем непосредственно к самому вычислению экспоненты:

получается для выбранного нами выражения экспоненты, что доказанная формула для

в случае

все-таки не будет применяться, см. замечание выше,

здесь я перенесу конечный столбец последующей матрицы:




. Здесь я использовал широко известное представление числа

:

.