Решение ДУ методом Эйлера

[Аскар]

Всем привет! Прошу помоч решить диф. уравнение методом Эйлера. Условия задачи:
$h=0.1$, $f(x,y)=2x^2+ 2y$ ; $y(0)=1$; отрезок $[0;1]$. Если можно с подробными пошаговыми объснениями. Заранее благодарю.

[powerZ]

Аскар в сообщении #160056 писал(а):

Прошу помоч решить диф. уравнение

Вы бы для начала его написали

[Аскар]

$y'=2x^2 + 2y$

[Brukvalub]

Аскар в сообщении #160056 писал(а):

решить диф. уравнение методом Эйлера.

А что это такое - метод Эйлера?

[powerZ]

Аскар писал(а):

y'=2*x^2 + 2*y

Ну теперь заменяйте

$y'$ вот такой штукой: $\frac {y_{k+1}-y_k}{x_{k+1}-x_k}$

А дальше два варианта:

Явный метод Эйлера:
справа будет $2 x_k ^2 + 2 y_k$

Неявный метод Эйлера:
справа будет $2 x_k^2 + 2 y_{k+1}$

Дальше выражаете $y_{k+1}$ через $y_k$ и $x_k$, подставляете начальные условия и решаете пошагово по получившейся рекуррентной формуле.

У вас ведь как я понял шаг постоянный?:
$h={x_{k+1}-x_k}$

[Хорхе]

Имеется в виду, видимо, метод ломаных Эйлера.
Я так понимаю слово "решить". Строим последовательность

$$y^{n}_{k+1} = y^n_{k}\Big(1+\frac2n\Big) + \frac{2k^2}{n^3},$$

полагаем $y^n(k/n) = y_k^n$, интерполируем и находим $\lim_{n\to\infty} y^n(x)$.

[powerZ]

Brukvalub в сообщении #160064 писал(а):

А что это такое - метод Эйлера?

Ооо.. Это очень полезная весч...

[Brukvalub]

powerZ в сообщении #160074 писал(а):

Brukvalub в сообщении #160064 писал(а):
А что это такое - метод Эйлера?


Ооо.. Это очень полезная весч...

Да я-то уже лет 29, как знаю этот метод. Мой вопрос решал следующую задачу: пытался ли вопрошающий самостоятельно разобраться в методе, или сразу решил спросить, чтобы ему здесь все решили и разжевали.

[powerZ]

Brukvalub в сообщении #160076 писал(а):

Мой вопрос решал следующую задачу: пытался ли вопрошающий самостоятельно разобраться в методе, или сразу решил спросить, чтобы ему здесь все решили и разжевали.

Я так и понял. Я просто хотел сказать, что метод Эйлера мне очень помогает в жизни

[bot]

Это кому же в голову пришло заставлять решать простейшее линейное уравнение первого порядка приближениями?

[ewert]

bot писал(а):

Это кому же в голову пришло заставлять решать простейшее линейное уравнение первого порядка приближениями?

Например, мне обычно приходит. Именно для того, чтобы явно убедить народ в правильности теоретических оценок точности.

Добавлено спустя 2 минуты 11 секунд:

Хорхе писал(а):

и находим $\lim_{n\to\infty} y^n(x)$.

нет, это стандартная задача на отработку формальной схемы метода как таковой, шаг жёстко задан

[Хорхе]

ewert писал(а):

нет, это стандартная задача на отработку формальной схемы метода как таковой, шаг жёстко задан

Тогда "решить" -- наверное, неправильное слово. "Построить приближения"? Но даже в это непонятно что вкладывается. Рекуррентная формула устроит? Если не устроит --- полученное разностное уравнение ничем не проще решать, чем исходное (хотя бы потому, что проще ничего не бывает ). А если не решать --- а смысл? Научиться подставлять в некую формулу условие задачи?
Это не критика, это праздный интерес --- какое воспитательно-методическое наполнение задачи "построить приближения". Убедить народ в правильности оценок точности на примере --- мне не кажется это методически правильным. Математика все же не экспериментальная наука.
Скажите, где я неправ.

[Brukvalub]

Я думаю, что такой подход оправдан только в рамках введения в численные методы, либо для того, чтобы "пощупать своими руками" аппарат доказательства теорем существования решения д.у. методом ломаных Эйлера.
В противном случае, это будет довольно точным аналогом порочной практики анализа - приближенным вычислением с помощью дифференциала.

[ewert]

Хорхе в сообщении #160095 писал(а):

Научиться подставлять в некую формулу условие задачи?
Это не критика, это праздный интерес --- какое воспитательно-методическое наполнение задачи "построить приближения". Убедить народ в правильности оценок точности на примере --- мне не кажется это методически правильным. Математика все же не экспериментальная наука.

Вычислительная математика -- наука в значительной степени экспериментальная.

"Убедить на примере" -- не знаю, правильно или нет, но методически необходимо. Пока человек не пощупает пальчиками, как ведут себя конкретные численные значения погрешности, для него пресловутое $O(h)$ так и останется некоторой загадочной абстракцией.

Научиться пользоваться некоей формулой -- так к этому в значительной степени и сводится обучение математике. Вот, к примеру, есть формула: $(fg)'=f'g+g'f$. Или $(f(g(x)))'=f'(g)\cdot g'(x)$. Допустим, некий студент эти формулы вызубрил и сдал. Ну так чего же от него ещё и требовать? Так нет же, злодеи-преподаватели до посинения (преимущественно собственного) всё требуют и требуют от него вычисления каких-то дурацких производных...

--------------------------------------------------------------------------------------------
В любом случае разговор абстрактен, ибо задание то конкретное сводится именно к тому, о чём я говорил.

[powerZ]

Хорхе в сообщении #160095 писал(а):

Тогда "решить" -- наверное, неправильное слово. "Построить приближения"? Но даже в это непонятно что вкладывается. Рекуррентная формула устроит? Если не устроит --- полученное разностное уравнение ничем не проще решать, чем исходное

Да, не проще. Но это и не требуется. Масса приложений есть, где удобнее и быстрее сначала найти решение (в смысле значения функции в определенных точках) численно, по рекуррентной формуле, а потом уже искать аналитическое решение (если такое ещё вообще найдется). Поэтому - почему бы этому не учить?