Асимптотическая оценка суммы

[vicvolf]

RIP в сообщении #1597450 писал(а):

Ладно, доказательство увидел.

Это не то доказательство. Оно не верно. Я потом этот вопрос снял.

RIP в сообщении #1597450 писал(а):

Впрочем, да, с аддитивными функциями я действительно погорячился. Если аддитивная функция $f(n)$ ограничена, то существует предел

$$\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}f(n)=\sum_{p}\sum_{\alpha=1}^{\infty}\frac{f(p^{\alpha})}{p^{\alpha}}\left(1-\frac{1}{p}\right).$$

Аддитивная арифметическая функция может быть и не ограничена. Достаточно, чтобы она была ограничена "в среднем".

[RIP]

vicvolf в сообщении #1597465 писал(а):

Это не то доказательство.

То доказательство я тоже видел, и оно тоже неверно. Во-первых, равенство $\lim E[f,n]=\lim A[f,n]$ неверно (и не обосновано). Даже если его поправить, Вы пытаетесь обосновать ограниченность, а не сходимость. Если функция не знакопостоянна (тем паче комплекснозначная), то это не одно и то же.

vicvolf в сообщении #1597465 писал(а):

Аддитивная арифметическая функция может быть и не ограничена. Достаточно, чтобы она была ограничена "в среднем".

Смотря как понимать ограниченность в среднем. Условие $\sum_{n=1}^{N}\lvert f(n)\rvert\leqslant CN$ достаточно для существования предела (и верна формула из моего предыдущего сообщения). В частности, для знакопостоянной аддитивной функции ограниченность средних действительно равносильна существованию предела. Условие $\left\lvert\sum_{n=1}^{N}f(n)\right\rvert\leqslant CN$ недостаточно для существования предела, если я не ошибся в выкладках.

[RIP]

RIP в сообщении #1597486 писал(а):

Условие $\sum_{n=1}^{N}\lvert f(n)\rvert\leqslant CN$ достаточно для существования предела (и верна формула из моего предыдущего сообщения). В частности, для знакопостоянной аддитивной функции ограниченность средних действительно равносильна существованию предела.

Нашёл ошибку у себя, поэтому не факт, что первое утверждение верно. Но утверждение про знакопостоянные функции верно. Вообще, для существования предела средних достаточно, чтобы $\sum_{p}\sum_{\alpha=1}^{\infty}\frac{\lvert f(p^{\alpha})\rvert}{p^{\alpha}}<+\infty$. Для знакопостоянных функций это равносильно ограниченности средних.

[vicvolf]

RIP в сообщении #1597521 писал(а):

Вообще, для существования предела средних достаточно, чтобы $\sum_{p}\sum_{\alpha=1}^{\infty}\frac{\lvert f(p^{\alpha})\rvert}{p^{\alpha}}<+\infty$.

Таким образом, для комплекснозначных аддитивных арифметических функций. для существования предела средних. достаточно абсолютной сходимости данного ряда. Это похоже на правду еще из других соображений. Позже к этому вернусь. Но сейчас меня интересует случай знакопостоянных аддитивных арифметических функций, когда достаточно ограниченности средних. Я хочу доказать это впрямую, не используя абсолютную сходимость данного ряда.

[vicvolf]

Утверждение

Если $f(m),m=1,...,n$ знакопостоянная аддитивная арифметическая функция, ограничена "в среднем", то существует конечный предел ее среднего значения: $\lim_{n \to \infty} E[f,n]=\sum_{p}{\frac{f(p)}{p}+\frac{f(p^2)}{p^2}+...$. (1)

Доказательство

Пусть $f(m),m=1,...,n$ ограничена "в среднем" значением А, т .е. $|E[f,n]| \leq A$ (2).

Обозначим асимптотику $E[f,n]$ при $n \to \infty$ - $A[f,n]$, т.е. $A[f,n] \sim E[f,n]$ или $\lim_{n\to \infty} \frac{A[f,n]}{E[f,n]}=1$.(3)

На основании (2) и (3):$|A[f,n]| \leq A$.(4)

Известно, что $A[f,n]=\sum_{p \leq n}{\frac{f(p)}{p}+\frac{f(p^2)}{p^2}+...$.(5)

На основании (5): $\lim_{n \to \infty} A[f,n]=\sum_{p}{\frac{f(p)}{p}+\frac{f(p^2)}{p^2}+...$.(6)

Учитывая (4), (6): $|\sum_{p}{\frac{f(p)}{p}+\frac{f(p^2)}{p^2}+...|\leq A$. (7)

На основании (7), если $f \geq 0$, то ряд $0 \leq \sum_{p}{\frac{f(p)}{p}+\frac{f(p^2)}{p^2}+...<\infty$ сходится.

Аналогично, если $f < 0$, то ряд $-\infty<\sum_{p}{\frac{f(p)}{p}+\frac{f(p^2)}{p^2}+...<0$ сходится.

Поэтому, если $f$ знакопостоянная, то на основании (6), существует конечный предел $\lim_{n \to \infty} A[f,n]=\sum_{p}{\frac{f(p)}{p}+\frac{f(p^2)}{p^2}+...$. (8)

На основании (3): $\lim_{n\to \infty} \frac{A[f,n]}{E[f,n]}=1$, поэтому если существует $\lim_{n \to \infty} E[f,n]$ не равный 0, то существет конечный предел $\lim_{n \to \infty} E[f,n]=\lim_{n \to \infty} A[f,n]$$=\sum_{p}{\frac{f(p)}{p}+\frac{f(p^2)}{p^2}+...$,
что соответствует (1).

Если $\lim_{n \to \infty} E[f,n]=0$, то на основании (3) $\lim_{n \to \infty} A[f,n]=0$ и существeет конечный предел $\lim_{n \to \infty} E[f,n]=\lim_{n \to \infty} A[f,n]=0$, что соответствует (1).

Если не существует предела $\lim_{n \to \infty} E[f,n]$, то на основании (3) не должно существовать предела $\lim_{n \to \infty} A[f,n]$, что противоречит (8), поэтому данное предположение неверно.

Какие неточности в доказательстве?

[vicvolf]

Наверно надо добавить, что функция $A[f,n]$ (5) является монотонной с ростом $n$ при знакопостоянной $f$. При $f \geq 0$ функция $A[f,n]$ монотонно возрастает, а при $f<0$ функция $A[f,n]$ монотонно убывает. Поэтому в силу ограниченности $|A[f,n]| \leq A$, cуществует конечный предел $\lim_{n \to \infty} A[f,n]$ (8).

[vicvolf]

RIP в сообщении #1597486 писал(а):

Во-первых, равенство $\lim E[f,n]=\lim A[f,n]$ неверно (и не обосновано). Даже если его поправить,

vicvolf в сообщении #1597557 писал(а):

На основании (3): $\lim_{n\to \infty} \frac{A[f,n]}{E[f,n]}=1$, поэтому если существует $\lim_{n \to \infty} E[f,n]$ не равный 0, то существет конечный предел $\lim_{n \to \infty} E[f,n]=\lim_{n \to \infty} A[f,n]$$=\sum_{p}{\frac{f(p)}{p}+\frac{f(p^2)}{p^2}+...$,
что соответствует (1).

Если $\lim_{n \to \infty} E[f,n]=0$, то на основании (3) $\lim_{n \to \infty} A[f,n]=0$ и существeет конечный предел $\lim_{n \to \infty} E[f,n]=\lim_{n \to \infty} A[f,n]=0$, что соответствует (1).

Если не существует предела $\lim_{n \to \infty} E[f,n]$, то на основании (3) не должно существовать предела $\lim_{n \to \infty} A[f,n]$, что противоречит (8), поэтому данное предположение неверно.

RIP в сообщении #1597486 писал(а):

Вы пытаетесь обосновать ограниченность, а не сходимость. Если функция не знакопостоянна (тем паче комплекснозначная), то это не одно и то же.

vicvolf в сообщении #1597570 писал(а):

функция $A[f,n]$ (5) является монотонной с ростом $n$ при знакопостоянной $f$. При $f \geq 0$ функция $A[f,n]$ монотонно возрастает, а при $f<0$ функция $A[f,n]$ монотонно убывает. Поэтому в силу ограниченности $|A[f,n]| \leq A$, cуществует конечный предел $\lim_{n \to \infty} A[f,n]$ (8).

Верно?

[vicvolf]

RIP в сообщении #1597521 писал(а):

Вообще, для существования предела средних достаточно, чтобы $\sum_{p}\sum_{\alpha=1}^{\infty}\frac{\lvert f(p^{\alpha})\rvert}{p^{\alpha}}<+\infty$. Для знакопостоянных функций это равносильно ограниченности средних.

vicvolf в сообщении #1597527 писал(а):

Таким образом, для комплекснозначных аддитивных арифметических функций. для существования предела средних. достаточно абсолютной сходимости данного ряда. Это похоже на правду еще из других соображений. Позже к этому вернусь.

В монографии https://books.google.ru/books?id=UEk-Cg ... &q&f=false на стр.58 имеется похожее доказательство для мультипликативных арифметических функций.