Графическое представление тензора

[sergey zhukov]

При определении тензора часто говорят, что это геометрический объект. При этом почти никто и никогда не рисует этот объект. Скажем, вектор причисляют к тензорам первого ранга, и рисунки векторных полей широко распространены. Но поля уже тензора второго ранга никогда не увидишь (разве что в виде эллипсоидов иногда). Правильно ли я понимаю, что трудность тут в следующем.

Ранг тензора не зависит от размерности пространства, т.е. здесь не та же самая трудность, которая позволяет нам рисовать трехмерные объекты, но не позволяет рисовать четырехмерные. Проблема, по моему, в том, что тензор первого ранга (вектор) имеет при любой размерности пространства только один инвариант (длина). А тензор уже второго ранга имеет сразу множество инвариантов, количество которых увеличивается с размерностью пространства.

Проблема с множеством инвариантов в том, что их можно скомбинировать и перейти к такому же множеству других инвариантов, которые характеризуют тот же самый тензор. Т.е. проблема с геометрическим отображением тензора не в том, что его сложно или невозможно нарисовать, а в том, что один и тот же тензор можно нарисовать множеством способов.

Например, трехмерный вектор мы рисуем обычно в виде отрезка определенной длины. Здесь нет вариантов, т.к. инвариант у вектора только один. Тензор второго ранга в трехмерном пространстве можно изобразить в виде трехгранного угла (три стороны куба с общей вершиной), на каждой грани которого есть вектор. Но т.к. у такого тензора шесть инвариантов, то это всего-лишь один из множества способов его изображения, отвечающий какому-то конкретному выбору представления этих инвариантов. Другой выбор представления инвариантов даст другой рисунок (другая ориентация плоскостей, другой угол между ними, другая длина и направление векторов), но это будет рисунок того же самого тензора.

Т.е. вектор легко нарисовать, т.к. его графическое представление однозначно. А тензор нарисовать сложно, т.к. его графическое представление неоднозначно.

[пианист]

sergey zhukov в сообщении #1597574 писал(а):

При определении тензора часто говорят, что это геометрический объект. При этом почти никто и никогда не рисует этот объект.

Имеют в виду банально то, что тензор можно переписать в любые координаты. С рисованием это никак не связано. По-моему так.
Кстати, обобщение тензоров типа коэффициентов Кристоффеля прямо так и называют - геометрические объекты.

[zykov]

Предлагайте, как наглядно изобразить.
Никто пока не придумал.
У тензора ещё и сигнатура может быть разной (для второго ранга например 2-0, 1-1, 0-2).
Вот предложите, как визуализировать в думерном случае квадратичную форму и линейное преобразование?

[Dedekind]

zykov
Ну, линейное преобразование, положим, довольно просто визуализировать. https://www.youtube.com/watch?v=kYB8IZa5AuE

[Slav-27]

В книге Мизнер, Торн, Уилер, Гравитация, том 1 рисуют как минимум косые 2- и 3-формы.

Мне кажется, чем больше компонент, тем труднее нарисовать.

[epros]

sergey zhukov в сообщении #1597574 писал(а):

При этом почти никто и никогда не рисует этот объект.

Нарисовать можно. Только видов тензоров второго ранга существует несколько и представляться они должны по-разному.

Но прежде, чем придумывать, как рисовать тензоры второго ранга, попробуйте для начала правильно нарисовать ковектор. Подсказка: Направленный отрезок, которым обычно изображают вектор, не подходит.

[sergey zhukov]

epros
А разве ковариантный и контравариантный вектор - это не один и тот же вектор, записанный в двух разных СК? Тут проблема, как я вижу, это как раз изобразить дуальную СК.

В любом случае - это же отдельная трудность? Если все компоненты тензора контравариантные, то на это можно не обращать внимания?

[epros]

sergey zhukov в сообщении #1597756 писал(а):

А разве ковариантный и контравариантный вектор - это не один и тот же вектор, записанный в двух разных СК?

Нет, это совершенно разные геометрические объекты. Если пространство не метрическое, то между ними даже нет непосредственной связи.

[sergey zhukov]

epros
Т.е. мы знаем, что векторы преобразуются через обратную матрицу перехода, а ковекторы - через прямую. Но это не дает нам никакой связи между векторами и ковекторами. Если же пространство метрическое (определено скалярное произведение), то тогда уже можно говорить про ко- и контравариантные компоненты одного и того же вектора.

[mihaild]

epros в сообщении #1597774 писал(а):

Если пространство не метрическое, то между ними даже нет непосредственной связи

А что, метрики достаточно, не нужно скалярного произведения?

[Geen]

Метрика сама по себе ни при чём, как бы. Нужно "стандартное отображение". Обычно для этого используют "метрический тензор" (но не всегда).

[epros]

sergey zhukov в сообщении #1597830 писал(а):

Если же пространство метрическое (определено скалярное произведение), то тогда уже можно говорить про ко- и контравариантные компоненты одного и того же вектора.

Это уж точно не компоненты одного и того же вектора. Как ни крути, вектор и ковектор - это разные геометрические объекты, независимо ни от каких координат. Но в метрическом пространстве между ними устанавливается взаимно однозначное соответствие.

mihaild в сообщении #1597831 писал(а):

А что, метрики достаточно, не нужно скалярного произведения?

Не совсем понял вопрос. Если речь о скалярном произведении векторов, то оно и определяется через метрику (или метрика определяется через скалярное произведение векторов - кому как нравится). Но иногда "скалярным произведением" называют свёртку вектора с ковектором. Для этого метрика не нужна, эта величина и в не метрическом пространстве является скаляром.

[mihaild]

epros в сообщении #1597860 писал(а):

Если речь о скалярном произведении векторов, то оно и определяется через метрику (или метрика определяется через скалярное произведение векторов - кому как нравится).

Так не всякая метрика порождена скалярным произведением. Как связывать вектор с ковектором для какого-нибудь $l_1$?

[epros]

mihaild в сообщении #1597861 писал(а):

Так не всякая метрика порождена скалярным произведением.

Если мы говорим о метрическом тензоре (а это, конечно, не то же самое, что любая метрика), то его компоненты можно определить непосредственно через скалярные произведения базисных векторов соответствующих координат. Далее, для любого вектора $a^i$ его свёртка с этим метрическим тензором $g_{ij}$ вида $a^i g_{ij}$ является соответствующим ковектором.

[sergey zhukov]

epros в сообщении #1597736 писал(а):

попробуйте для начала правильно нарисовать ковектор

Ковектор геометрически представляется в виде той самой "коробки для яиц" (1-форма), которая приводится в МТУ. Здесь все достаточно понятно. Т.е. да, это не "тот же вектор", выглядит он совсем не так. Есть сопособ установить однозначную связь между векторами и ковекторами, но это не значит, что то и другое - это одно и то же. Просто два разных множества объектов, для которых установлено взаимно - однозначное соответствие.

Тогда поле ковектора, скажем, в двумерном случае представляется в виде произвольной сетки. Только это в частном случае, когда имеем именно градиент скалярной функции. В более общем случае не может быть нарисована гладкая непрерывная сетка.