Графическое представление тензора

[sergey zhukov]

Точнее, 1-форма изображается в виде изолиний, а не сетки.

[sergey zhukov]

пианист в сообщении #1597577 писал(а):

Имеют в виду банально то, что тензор можно переписать в любые координаты. С рисованием это никак не связано.

В МТУ в самом начале есть цитата Эйнштейна:

Цитата:

Это (формулировка принципа эквивалентности) произошло в 1908г. Почему понадобилось еще семь лет, чтобы построить общую теорию относительности? Главная причина заключается в том, что не так легко освободиться от представления, что координаты имеют прямой метрический смысл.

(Это и мне кажется одним из главных препятствий на пути каждого, кто знакомится с ОТО).
В духе этого высказывания можно было-бы так же сказать что "не так легко освободиться от представления, что геометрический объект имеет прямое "графическое" выражение". Т.е. геометрия уже давно исчерпала возможности начертательной графики, значительно переросла ее. Определение геометрического объекта, как совокупности величин, преобразующихся при переходе к другой СК определенным образом - это кажется каким-то странным определением (на первый взгляд, конечно. Как будто мы только и собираемся делать, что переходить из одной СК в другую), и во всяком случае чем-то совершенно далеким от геометрии.

[пианист]

sergey zhukov
Там смысл такой: есть нечто, что в (выбранных) координатах только представляется, а так-то существует независимо.
Вот это нечто геометрический объект.
Но просто формализовать такое описание иначе, чем возможность записывать в любых координатах, вряд ли возможно.

[Geen]

Да что вы всё про тензоры? - вы, лучше, спинор нарисуйте

[sergey zhukov]

пианист
Ну, про то, что координаты - это произвольная лишняя информация в задаче, без добавления которой мы тем не менее не всегда почему-то можем решать эти задачи - это я уже понял. Геометрические объекты от добавления этой лишней информации никак не меняются.

Мне интересно понять, какая именно трудность мешает нарисовать некоторый геометрический объект. Одна из таких трудностей - слишком высокая размерность объекта. Это мне понятно.

Другая трудность встречается, скажем, при попытке вложить двумерное искривленное пространство в трехмерное. Иногда это можно сделать, иногда - нет. Здесь трудность тоже понятна: только некоторые типы метрик допускают такое вложение и причина тут в общем ясна.

Тензор же кажется должен выглядеть очень просто, ведь это как будто достаточно простой объект. Однако, видимо, вектор был тем простым объектом, который задал очевидный закон преобразования и вообще подал идею того, что "геометрический объект - это то, представление чего (компоненты) как-то преобразуются". Затем этот закон был математически обобщен уже без всякой наглядной интерпретации.

Скажем, проекции некоторого трехмерного тела на стены и пол - это его компоненты в системе комнаты. Можем взять куб и записать закон преобразования его проекций при его вращении. А можем просто произвольно задать законы преобразования проекций и сказать, что они определяют некоторый трехмерный геометрический объект. И нам не важно, что его в общем случае невозможно построить. Нам важен закон преобразования проекций (компонент).

Нечто подобное происходит с описанием "формы" пространства через метрику. Все начинается с криволинейных координат на плоскости, в результате чего выясняется, что описание сводится к квадратичной форме с некоторыми функциями от координат. Далее делается попытка обобщения результата и эти функции просто выбираются произвольно. Это приводит в частных случаях к описанию искривленной поверхности, но в общем случае - к искривленному двумерному пространству, которое невозможно реализовать в виде поверхности. Но эта невозможность совершенно никого не смущает, никто не говорит, что "результат не имеет смысла". Это по прежнему геометрия, только развиваемая средствами алгебры.

[пианист]

sergey zhukov в сообщении #1597970 писал(а):

Мне интересно понять, какая именно трудность мешает нарисовать некоторый геометрический объект.

А почему именно нарисовать, а не, допустим, напеть? Или протанцевать(с) Пелевин..

sergey zhukov в сообщении #1597970 писал(а):

Тензор же кажется должен выглядеть очень просто, ведь это как будто достаточно простой объект

Если Вы так думаете, попробуйте проклассифицировать трехвалентный тензор общего вида.

[epros]

Geen в сообщении #1597947 писал(а):

Да что вы всё про тензоры? - вы, лучше, спинор нарисуйте

Да, вот это реально интересная задача. Мне любопытно, можно ли из точек (ведь элементами пространства являются именно точки) построить объект, который не обращается в себя при повороте на 360 градусов.

sergey zhukov в сообщении #1597970 писал(а):

Мне интересно понять, какая именно трудность мешает нарисовать некоторый геометрический объект.

Да нет особых препятствий к рисованию тензоров, не считая того, что способов рисования много и они разные для разных видов тензоров. Например, метрику пространства-времени можно изобразить световым конусом плюс масштабный фактор. Но это - специфический вид тензора.

[пианист]

epros в сообщении #1598015 писал(а):

объект, который не обращается в себя при повороте на 360 градусов

Посмотрите в книжечке Френкеля "Любовь и математика" рисунок 15.1 на 213 странице.

[epros]

пианист в сообщении #1598018 писал(а):

Посмотрите в книжечке Френкеля "Любовь и математика" рисунок 15.1 на 213 странице.

Это понятно, что двойные накрытия $SO(3)$ существуют. Но дело вот в чём: Вращаем-то мы ладонь, а не всю руку. И ладонь обращается в себя после одного оборота. Да, рука в целом обращается в себя только после дух оборотов, но рука в целом - не вращается, она совершает более сложное движение. При повороте спинора полуцелого ранга что в нём совершает более сложное движение, чем простое вращение?

[sergey zhukov]

пианист в сообщении #1597999 писал(а):

А почему именно нарисовать

Так геометрический же. Был бы музыкальный или танцевальный - другое дело.

[пианист]

epros
Ну, может кто-то более наглядную иллюстрацию приведет. Я вот такую знаю.

sergey zhukov в сообщении #1598124 писал(а):

Так геометрический же

Могу только повторить: отнесение тензоров к геометрическим объектам с возможностью рисования никак не связано. А так-то, конечно, chi cerca - trova.

[epros]

пианист в сообщении #1598131 писал(а):

отнесение тензоров к геометрическим объектам с возможностью рисования никак не связано

По-моему, это спорно. Всё-таки "геометрические объекты" - это объекты пространства. А пространство - это множество точек. Стало быть геометрический объект должен как-то представляться точками пространства. А что это, как не рисование?

Кстати, именно поэтому спинор полуцелого ранга очень сложно воспринять как объект именно нашего (трёхмерного или четырёхмерного) пространства. Вот из Вашего же примера видно, что спинор нельзя представить как ладонь, вращающуюся вместе с пространством, ибо она обращается в себя при обороте на 360 градусов. А если представить спинор как руку до плеча, то получится, что часть от кисти до плеча не принадлежит нашему пространству, ибо не вращается вместе с ним, а где-то "закреплена" за его пределами, ибо вращается только ладонь.

[sergey zhukov]

epros
Если геометрический объект задается просто произвольным законом преобразования своих компонент, то, думаю, не удивительно, что в общем случае его нельзя нарисовать. Это, похоже, и есть ответ на мой первоначальный вопрос. Сначала некоторые геометрические объекты задавали закон преобразования своих компонент (вектор), а затем определение повернули наоборот: произвольный закон преобразования компонент начал задавать некий геометрический объект. Это значительно расширило множество геометрических объектов, но, похоже, нет никакого смысла пытаться их рисовать.

[epros]

sergey zhukov в сообщении #1598188 писал(а):

геометрический объект задается просто произвольным законом преобразования своих компонент

Может быть это и верно, но вряд ли это можно рассматривать как определение понятия "геометрический объект". Всё-таки главное в понятии "геометрический объект", это то, что он существует в соответствующем пространстве независимо от каких бы то ни было "координат". Вот построенная прямая (геодезическая линия) - это геометрический объект. Треугольник - геометрический объект, а сумма его углов - геометрический факт, который не зависит ни от каких координат, которые могут быть приписаны углам этого треугольника.

sergey zhukov в сообщении #1598188 писал(а):

Сначала некоторые геометрические объекты задавали закон преобразования своих компонент (вектор), а затем определение повернули наоборот: произвольный закон преобразования компонент начал задавать некий геометрический объект.

Вот именно, что "повернули наоборот": Поставили всё с ног на голову, поменяв местами причину и следствие. Является ли аффиная связность "геометрическим объектом"? Я полагаю, что да, хотя она и не тензор. Но отнюдь не потому, что мы определили некий закон преобразования её компонент (символов Кристоффеля), а потому, что она независимым от координат образом определяет геометрическое понятие - параллельный перенос. И, кстати, её можно "нарисовать" - пучком геодезических, проходящих через данную точку. По крайней мере с точностью до кручения эта картинка аффинную связность вполне определяет.

[sergey zhukov]

epros
Закон преобразования компонент сохраняет инварианты объекта. Это и определяет его независимость от координат. Т.е. любой закон преобразования, сохраняющий инварианты, определяет геометрический объект. Инварианты как будто и должны иметь какую-то графическую интерпретацию. Но, вероятно, не всегда эти инварианты можно сопоставить с длинами сторон, углами, площадями, объемами и вообще всем тем, что можно нарисовать.