Равенство двух множеств на плоскости, заданных формулами

[WinterPrimat]

Рассмотрим множество точек:
$\left\{\left(x,y\right)|\displaystyle\lim_{n\to+\infty}{\left(x^{2n}+y^{2n}\right)}=1,n\in\mathbb{Z}\right\}$ (график, вероятно, квадрат)
Рассмотрим еще одно множество:
$\left\{\left(x,y\right)|\left|x+y\right|+\left|x-y\right|=2\right\}$ (тот же квадрат)
Спустя несколько дней, я так и не смог ни доказать равенство сих множеств, ни опровергнуть.
Публикую на форуме, так как надеюсь, что ваши идеи подтолкнут меня к чему-то правильному.
Спасибо за помощь.
Есть, конечно, идея рассмотреть $\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\sqrt[2n]{1-x^{2n}}},x\in\left[-1;1\right]$, но очень не уверен, имеет ли место вообще такой подход.

[mihaild]

WinterPrimat в сообщении #1597252 писал(а):

$\left\{\left(x,y\right)|x^{2n}+y^{2n}=1,n\in\mathbb{Z},n\to+\infty\right\}$

Что это вообще значит? В смысле что значит $n \to \infty$?

[WinterPrimat]

mihaild
$n$ - целое число, значение которого стемится к бесконечности (положительной). Я неправильно записал?

[iifat]

WinterPrimat в сообщении #1597259 писал(а):

Я неправильно записал?

Ну, попробуйте ответить: точка $(\frac{\sqrt2}2,\frac{\sqrt2}2)$ — она принадлежит вашему первому множеству?

[WinterPrimat]

iifat
Ни первому, ни второму.
1)
$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}{\left(\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2n}+\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2n}\right)}=\lim_{n\to+\infty}{\left(\left(\dfrac{1}{2}\right)^n+\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right)}=0\ne1$
2)
$\left|\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right|+\left|\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right|=\sqrt{2}\ne2$

[mihaild]

WinterPrimat в сообщении #1597259 писал(а):

$n$ - целое число, значение которого стемится к бесконечности (положительной)

Я не знаю, что такое "целое число, стремящееся к бесконечности".
Я знаю, что значит "что-то там при чем-то там стремящемся к бесконечности стремится к чему-то" или "предел чего-то при чем-то стремящемся к бесконечности равен чему-то", но не само по себе выражение "число, стремящееся к бесконечности".

[Ende]

WinterPrimat
Пожалуйста, давайте темам названия, из которых понятно хотя бы, к какой области математики относится задача.

[WinterPrimat]

mihaild
Значение $x^{2n}+y^{2n}$ при целом $n$, стремящемя к бесконечности, стремится к $1$. Так правильно?

-- 11.06.2023, 10:37 --

Ende
Если б еще знать... Может, матанализ?

(Оффтоп)

Наверное, не будь я самоучкой, и по такой задаче вопрос не возник бы

[Ende]

WinterPrimat
Можно было бы назвать тему, например, "равенство двух множеств на плоскости, заданных формулами". Так или иначе, из названия темы должно быть хоть приблизительно понятно, о чем пойдет речь.

[WinterPrimat]

Ende
Спасибо

[B@R5uk]

Скорее всего под первым множеством подразумевается что такое:

$$\left\{\;\left(x,y\right)\;|\;\lim_{n\to+\infty}\left(x^{2n}+y^{2n}\right)=1\;\right\}$$

Предел равен единице, если ровно одна координата по модулю равна единице, а другая — меньше. Множество — квадрат с центром в начале координат, стороной 2 и выколотыми вершинами.

[wrest]

WinterPrimat в сообщении #1597252 писал(а):

Спустя несколько дней, я так и не смог ни доказать равенство сих множеств, ни опровергнуть.

Поскольку точки $x=\pm 1;y=\pm 1$ не входят в первое множество (где предел), но входят во второе (где модули), то равенства множеств не наблюдается. Ну то есть вопрос сводится к тому, равны ли множества точек интервала $(-1;1)$ и отрезка $[-1;1]$.