Исследовать на дифференцируемость в точке

[bubblemint]

Всем привет. Нужно исследовать функцию $\mathrm{f}$=$\sqrt[3]{\sin x(1-\cos (xy))}$ в точке (0,0).
Я ищу частные производные по определению, обе они равны 0. Затем мне нужно доказать их непрерывность:

$$\lim\limits_{\Delta x\to 0\\ \Delta y\to 0}^{}{\frac{\sqrt[3]{\sin \Delta x(1-\cos (\Delta x\Delta y))}}{\sqrt{\Delta x^2+ \Delta y^2}}}$$

В знаменателе расстояние. Этот шаг правильный? Если да, то подтолкните, пожалуйста, к решению этого монстра.

[Padawan]

В числителе замените на эквивалентное. Потом к полярным координатам перейдите.

[bubblemint]

Padawan в сообщении #1596736 писал(а):

В числителе замените на эквивалентное

Т.е. я заменяю, несмотря на кубический корень? И получаю 2 эквивалентные под корнем?

[мат-ламер]

Может сразу в исходной функции имеет смысл перейти к эквивалентностям. В результате её вид существенно упростится.

[bubblemint]

Проблема решена, премного благодарен за подсказку

[svv]

bubblemint в сообщении #1596735 писал(а):

$$\lim\limits_{\Delta x\to 0\\ \Delta y\to 0}^{}{\frac{\sqrt[3]{\sin \Delta x(1-\cos (\Delta x\Delta y))}}{\sqrt{\Delta x^2+ \Delta y^2}}}$$

Не понимаю, что за предел написан и зачем его вычислять. Ведь для самых что ни на есть непрерывно дифференцируемых функций подобный предел не обязан существовать.

Возьмём, например, $f(x,y)=3x-4y$. Даже если устремлять $\Delta x$ и $\Delta y$ к нулю так, чтобы точка $(\Delta x,\Delta y)$ лежала на заранее выбранном луче с началом в $(0,0)$, предел

$$\lim_{\substack{\Delta x\to 0\\\Delta y\to 0}}\dfrac{3\Delta x-4\Delta y}{\sqrt{\Delta x^2+ \Delta y^2}}$$

может быть любым числом от $-5$ до $5$ в зависимости от выбора луча. То есть предел не существует. И о чём это говорит?

[Null]

svv в сообщении #1596807 писал(а):

$f(x,y)=3x-4y$.

Частные производные по $x$ и $y$ у вас не 0. Линейную часть нужно вычесть, просто в данной задаче она 0.

[мат-ламер]

svv в сообщении #1596807 писал(а):

Не понимаю, что за предел написан и зачем его вычислять. Ведь для самых что ни на есть непрерывно дифференцируемых функций подобный предел не обязан существовать.

Я думаю, что топик-стартер допустил в стартовом посту небольшую неточность, что ввело вас в заблуждение. Он написал:

bubblemint в сообщении #1596735 писал(а):

Я ищу частные производные по определению, обе они равны 0. Затем мне нужно доказать их непрерывность:

На самом деле имелось в виду следующее. ТС подсчитал частные производные. Они оказались нулевые. Тогда логично предположить, что если функция дифференцируема в начале координат, то там её дифференциал (градиент) равен нулю. Записав равенство этого дифференциала нулю по определению, мы приходим к данному пределу.

[svv]

Теперь понятно. Спасибо, Null и мат-ламер.