2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Исследовать на дифференцируемость в точке
Сообщение06.06.2023, 06:54 
Аватара пользователя
Всем привет. Нужно исследовать функцию $\mathrm{f}$=$\sqrt[3]{\sin x(1-\cos (xy))}$ в точке (0,0).
Я ищу частные производные по определению, обе они равны 0. Затем мне нужно доказать их непрерывность:
$$\lim\limits_{\Delta x\to 0\\ \Delta y\to 0}^{}{\frac{\sqrt[3]{\sin \Delta x(1-\cos (\Delta x\Delta y))}}{\sqrt{\Delta x^2+ \Delta y^2}}}$$
В знаменателе расстояние. Этот шаг правильный? Если да, то подтолкните, пожалуйста, к решению этого монстра.

 
 
 
 Re: Исследовать на дифференцируемость в точке
Сообщение06.06.2023, 07:06 
В числителе замените на эквивалентное. Потом к полярным координатам перейдите.

 
 
 
 Re: Исследовать на дифференцируемость в точке
Сообщение06.06.2023, 07:09 
Аватара пользователя
Padawan в сообщении #1596736 писал(а):
В числителе замените на эквивалентное

Т.е. я заменяю, несмотря на кубический корень? И получаю 2 эквивалентные под корнем?

 
 
 
 Re: Исследовать на дифференцируемость в точке
Сообщение06.06.2023, 10:39 
Аватара пользователя
Может сразу в исходной функции имеет смысл перейти к эквивалентностям. В результате её вид существенно упростится.

 
 
 
 Re: Исследовать на дифференцируемость в точке
Сообщение07.06.2023, 03:01 
Аватара пользователя
Проблема решена, премного благодарен за подсказку

 
 
 
 Re: Исследовать на дифференцируемость в точке
Сообщение07.06.2023, 04:19 
Аватара пользователя
bubblemint в сообщении #1596735 писал(а):
$$\lim\limits_{\Delta x\to 0\\ \Delta y\to 0}^{}{\frac{\sqrt[3]{\sin \Delta x(1-\cos (\Delta x\Delta y))}}{\sqrt{\Delta x^2+ \Delta y^2}}}$$
Не понимаю, что за предел написан и зачем его вычислять. Ведь для самых что ни на есть непрерывно дифференцируемых функций подобный предел не обязан существовать.

Возьмём, например, $f(x,y)=3x-4y$. Даже если устремлять $\Delta x$ и $\Delta y$ к нулю так, чтобы точка $(\Delta x,\Delta y)$ лежала на заранее выбранном луче с началом в $(0,0)$, предел$$\lim_{\substack{\Delta x\to 0\\\Delta y\to 0}}\dfrac{3\Delta x-4\Delta y}{\sqrt{\Delta x^2+ \Delta y^2}}$$может быть любым числом от $-5$ до $5$ в зависимости от выбора луча. То есть предел не существует. И о чём это говорит?

 
 
 
 Re: Исследовать на дифференцируемость в точке
Сообщение07.06.2023, 12:28 
svv в сообщении #1596807 писал(а):
$f(x,y)=3x-4y$.
Частные производные по $x$ и $y$ у вас не 0. Линейную часть нужно вычесть, просто в данной задаче она 0.

 
 
 
 Re: Исследовать на дифференцируемость в точке
Сообщение07.06.2023, 13:37 
Аватара пользователя
svv в сообщении #1596807 писал(а):
Не понимаю, что за предел написан и зачем его вычислять. Ведь для самых что ни на есть непрерывно дифференцируемых функций подобный предел не обязан существовать.

Я думаю, что топик-стартер допустил в стартовом посту небольшую неточность, что ввело вас в заблуждение. Он написал:
bubblemint в сообщении #1596735 писал(а):
Я ищу частные производные по определению, обе они равны 0. Затем мне нужно доказать их непрерывность:

На самом деле имелось в виду следующее. ТС подсчитал частные производные. Они оказались нулевые. Тогда логично предположить, что если функция дифференцируема в начале координат, то там её дифференциал (градиент) равен нулю. Записав равенство этого дифференциала нулю по определению, мы приходим к данному пределу.

 
 
 
 Re: Исследовать на дифференцируемость в точке
Сообщение07.06.2023, 14:09 
Аватара пользователя
Теперь понятно. Спасибо, Null и мат-ламер.

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group