Поле куба вдоль ортогонали к грани

[mihail2102]

Уважаемые эксперты.
Представленный ниже материал имеет какие-то принципиальные ошибки, наверное такие же как и в материале в теме "гравиполе куба вдоль диагонали",которые приводят к ошибочному результату, но обнаружить их не удается. Уверен, что "свежий" взгляд их моментально обнаружит. Излагаю материал подробно, нет необходимости отвлекать внимание.
Заранее благодарен.
Силовое воздействие куба($H$),на единичную массу, на линии ортогональной грани и проходящей через ее геометрический центр будем находить из выражения:

$$H=\int\limits_{-r}^{+r}\int\limits_{-r}^{+r}\int\limits_{-r}^{+r}\frac{dxdydz(R-z)G\rho}{((x^2+y^2+(R-z)^2)^\frac{3}{2}}$$

где: $V_{k}$-объем куба, $G$-гравитационная постоянная, $\rho$- плотность вещества куба, $R_{0}$-удаление контрольной точки от центра масс.
Интегрируем по переменной ( z): Производная по z от выражения $(x^2+y^2+(R-z)^2)^\frac{-1}{2}$ равна

$$\frac{(-1)2(R-z)(-1)}{2((x^2+y^2+(R-z)^2)^\frac{3}{2}}$$

это равно выражению под тройным интегралом. Следовательно:

$$H=\int\limits_{-r}^{+r}\int\limits_{-r}^{+r}\frac{G\rho dxdy}{\sqrt{x^2+y^2+(R-r)^2}}-\int\limits_{-r}^{+r}\int\limits_{-r}^{+r}\frac{G\rho dxdy}{\sqrt{x^2+y^2+(R+r)^2}}$$

где:$r$ - полуребро куба. Интегрируем по переменной у:
Согласно таблицам интегралов(Двайт) 200.01:

$$\int\limits_{}^{}\frac{dy}{\sqrt{y^2+a^2}}=\ln\parallel (y+\sqrt{y^2+a^2})\parallel=\ln(y+\sqrt{y^2+x^2+(R-r)^2})$$

Модуль сразу заменяем на круглые скобки, так как выражение под модулем, при$R \ $ много большем $x,y,r \ $, больше нуля.
где: $a^2=x^2+(R-r)^2$ -для первого двойного интеграла, $a^2=x^2+(R+r)^2$ -для второго двойного интеграла. Получим выражение для поля:

$$H=G\rho(\int\limits_{-r}^{+r}\ln(r+\sqrt{r^2+x^2+(R-r)^2})dx-\int\limits_{-r}^{+r}\ln(-r+\sqrt{r^2+x^2+(R-r)^2})dx$$

$$-\int\limits_{-r}^{+r}\ln(r+\sqrt{r^2+x^2+(R+r)^2})dx+\int\limits_{-r}^{+r}\ln(-r+\sqrt{r^2+x^2+(R+r)^2})dx)$$

Введем обозначения для интегралов в скобках по порядку и будем вычислять их отдельно без произведения $G\rho$:

$$H=G\rho(I_{1}-I_{2}-I_{3}+I_{4})$$

$$I_{1}=\int\limits_{-r}^{+r}\ln(r+\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2})dx$$

Берем по частям:

$$u=\ln(r+\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2})$$

$$dv=dx$$

$$du=\frac{2x}{(r+\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2})2\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2}}$$

$$v=x$$

$$I_{1}=x\ln(r+\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2})-\int\limits_{}^{}\frac{x^2dx}{(r+\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2})\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2}}$$

Рассмотрим вторую интегральную часть выражения $I_{1}$:

$$(-1)\int\limits_{-r}^{+r}\frac{x^2dx}{(r+\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2})\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2}}$$

Введем переменную $t$:$t=\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2}$

$$dt=\frac{2xdx}{2\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2}}$$

$ x=\sqrt{t^2-r^2-(R-r)^2}$, то в новых переменных интеграл будет иметь вид:

$$ (-1)\int\limits_{}^{}\frac{\sqrt{t^2-r^2-(R-r)^2}dt}{(r+t)}$$

Введем новую переменную: $(r+t)=m $ , $t=m-r$. Тогда интеграл будет иметь вид:

$$(-1)\int\limits_{}^{}\frac{\sqrt{(m-r)^2-r^2-(R-r)^2}dm}{m}=(-1)\int\limits_{}^{}\frac{\sqrt{m^2-2mr+r^2-r^2-(R-r)^2}dm}{m}$$

$$=(-1)\int\limits_{}^{}\frac{\sqrt{m^2-2rm-(R-r)^2}dm}{m}$$

коэффициенты квадратного трехчлена под корнем равны:

$$a=1, b=-2r,c=-(R-r)^2$$

Согласно таблицам интегралов (Двайт) 380.311

$$(-1)\int\limits_{}^{}\frac{\sqrt{am^2+bm+c}dm}{m}=(-1)(\sqrt{am^2+bm+c}+b/2\int\limits_{}^{}\frac{dm}{\sqrt{am^2+bm+c}}+c\int\limits_{}^{}\frac{dm}{m\sqrt{am^2+bm+c}})$$

Это равно:

$$(-1)(\sqrt{m^2-2rm-(R-r)^2}+(-r)\int\limits_{}^{}\frac{dm}{\sqrt{m^2-2r-(R-r)^2}}$$ $$+(-(R-r)^2)\int\limits_{}^{}\frac{dm}{m\sqrt{m^2-2rm-(R-r)^2}})\eqno (1)$$

Согласно таблицам(Двайт)380.001

$$\int\limits_{}^{}\frac{dm}{\sqrt{am^2+bm+c}}=\ln(2\sqrt{(a(am^2+bm+c)}+2am+b)$$

$$a\geqslant0$$

Для реальных $a,b,c$ интеграл будет иметь вид:

$$\int\limits_{}^{}\frac{dm}{\sqrt{m^2-2rm-(R-r)^2}}=\ln(2\sqrt{m^2-2rm-(R-r)^2}+2m-2r)$$

Следующий интеграл согласно таблицам (Двайт) 380.111

$$\int\limits_{}^{}\frac{dm}{m\sqrt{am^2+bm+c}}=\frac{1}{\sqrt{-c}}\arcsin(\frac{bm+2c}{m\sqrt{b^2-4ac}}\eqno (1,2)$$

Для реальных $a,b,c$ интеграл будет иметь вид:

$$\frac{1}{\sqrt{-(-(R-r)^2)}}\arcsin(\frac{-2rm+2(-(R-r)^2}{m\sqrt{4r^2-4(-(R-r)^2})}$$

$$=\frac{1}{(R-r)}\arcsin\frac{-2rm-2(R-r)^2}{m\sqrt{4r^2+4(R-r)^2}}$$

В этом интеграле возвращаемся к переменной $t=m-r, m=t+r$

$$\frac{1}{(R-r)}\arcsin\frac{-2r(t+r)-2(R-r)^2}{(t+r)\sqrt{4r^2+4(R-r)^2}}$$

Переходим к переменной( х) при $t=\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2}$

$$\frac{1}{(R-r)}\arcsin\frac{-2r(r+\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2}-2(R-r)^2}{(r+\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2})\sqrt{4r+4(R-r)^2}}$$

Собираем выражение (1):

$$(-1)(\sqrt{m^2-2rm-(R-r)^2}-r\ln(2\sqrt{m^2-2rm-(R-r)^2}+2m-2r)$$ $$-(R-r)\arcsin\frac{-2r(r+\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2)}-2(R-r)^2}{(r+\sqrt{x^2+r^2+(R)^2})\sqrt{4r^2+4(R-r)^2}})\eqno (2)$$

Возвращаемся к переменной х в первых двух слагаемых:
$m=t+r=\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2}+r$
тогда

$$\sqrt{m^2-2rm-(R-r)^2}=$$

$$=\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2+2r\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2}+r^2-2r(\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2}+r)-(R-r)^2}$$

$$=\sqrt{x^2+2r^2-2r^2}=x$$

Тогда общий вид выражения (2) в переменных (х) будет иметь вид:

$$(-1)(x-r\ln(2x+2(r+\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2})-2r)$$ $$-(R-r)\arcsin\frac{-2r(r+\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2})-2(R-r)^2}{(r+\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2})\sqrt{4r^2+4(R-r)^2}})\eqno (3)$$

Возвращаемся к выражению $I_{1}$, при интегрировании по частям и добавляем к полученному выше свободное выражение. Таким образом общий вид $I_{1}$ в переменной (х) будет иметь вид:?

$$I_{1}=x\ln(r+\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2})-x+$$ $$r\ln(2x+2\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2})$$ $$+(R-r)\arcsin\frac{-2r(r+\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2})-2(R-r)^2}{(r+\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2})\sqrt{4r^2+4(R-r)^2}}$$

Найдем $I_2$

$I_2=\int\limits_{-r}^{+r}\ln\left\lbrace-r+\sqrt{r^2+x^2+(R-r)^2}\right\rbrace dx$ берем по частям $u=\ln(-r+\sqrt{r^2+x^2+(R-r)^2})$ $dv=dx$
$I_2=x\ln\left\lbrace-r+\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2}\right\rbrace-\int_{}{}\frac{x^2dx}{(-r+\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2}) \sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2}}$$(**)$
$t=\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2}$$\,$$\to$$dt=\frac{xdx}{\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2}}$$\,$ $x=\sqrt{t^2-r^2-(R-r)^2}$ подставим в интеграл, получим:
$(-1)\int\limits_{}^{}\frac{\sqrt{t^2-r^2-(R-r)^2}dt}{(-r+t)}$ делаем подстановку $m=-r+t$,$t=m+r$,$dm=dt$, получаем:
$(-1)\int\limits_{}^{}\frac{\sqrt{(m+r)^2-r^2-(R-r)^2}}{m}dm=(-1)\int\limits_{}^{}\frac{\sqrt{m^2+2rm-(R-r)^2}}{m}dm$, $a=1$,$b=+2r. $,$c=-(R-r)^2$
Согласно таблицам интегралов(Двайт) 380.311: $\int\limits_{}^{}\frac{\sqrt{am^2+bm+c}}{m}=\sqrt{am^2+bm+c}+\frac{b}{2}\int\limits_{}^{}\frac{dm}{\sqrt{am^2+bm+c}}+c\int\limits_{}^{}\frac{dm}{m\sqrt{am^2+bm+c}}$ получится следующее выражение:
$(-1)[\sqrt{m^2+2rm-(R-r)^2}+\frac{2r}{2}\int\limits_{}^{}\frac{dm}{\sqrt{m^2+2rm-(R-r)^2}}-(R-r)^2\int\limits_{}^{}\frac{dm}{m\sqrt{m^2+2rm-(R-r)^2}}]$
Интеграл во втором слагаемом согласно таблицам: 380.001, $a\geqslant0$

$\int\limits_{}^{}\frac{dm}{\sqrt{am^2+bm+c}}=\frac{1}{\sqrt{a}}\ln|2\sqrt{a(am^2+bm+c)}+2am+b|$,

$$\int\limits_{}^{}\frac{dm}{\sqrt{m^2+2rm-(R-r)^2}}=\ln(2\sqrt{m^2+2rm-(R-r)^2}+2m+2r)$$

интеграл в третьем слагаемом согласно таблицам 380.111 $c\leqslant0$,$b^2\geqslant4ac$
$\int\limits_{}^{}\frac{dm}{m\sqrt{am^2+bm+c}}=\frac{1}{\sqrt{-c}}\arcsin\frac{bm+2c}{|m|\sqrt{b^2-4ac}}=\int\limits_{}^{}\frac{dm}{m\sqrt{m^2+2rm-(R-r)^2}}=$ $\frac{1}{\sqrt{-(-(R-r)^2}}\arcsin\frac{2rm-2(R-r)^2}{m\sqrt{4r^2+4(R-r)^2}}$
Подставим в выражение(**):
$I_2=x\ln(-r+\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2})+(-1)[\sqrt{m^2+2rm-(R-r)^2}+r\ln(2\sqrt{m^2+2rm-(R-r)}+2m+2r)-(R-r)\arcsin\frac{2rm-2(R-r)^2}{m\sqrt{4r^2+4(R-r)^2}}]$
Переходим к переменной t и далее к переменной х:$m=-r+t=(-r+\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2})$ тогда $\sqrt{m^2+2rm-(R-r)^2}=$ $\sqrt{(-r+\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2})^2+2r(-r+\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2})-(R-r)^2}=$
$\sqrt{r^2-2r\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2}+x^2+r^2+(R-r)^2-2r^2+2r\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2}$ продолжение корня$\sqrt{-(R-r)^2}}=x$
после преобразования
$I_2=x\ln(-r+\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2})-x-r\ln(2x+2\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2})+(R-r)\arcsin\frac{2r(-r+\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2})-2(R-r)^2}{(-r+\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2}\sqrt{4r^2+4(R-r)^2}}$

Найдем $I_3$

$I_3=\int\limits_{-r}^{+r}\ln(r+\sqrt{x^2+r^2+(R+r)^2})dx$ берем по частям $u=\ln(r+\sqrt{x^2+r^2+(R+r)^2})$ $dv=dx$
$I_3=x\ln(r+\sqrt{x^2+r^2+(R+r)^2})-\int\limits_{}^{}\frac{x^2dx}{(r+\sqrt{x^2+r^2+(R+r)^2})\sqrt{x^2+r^2+(R+r)^2}}$$(***)$
$t=\sqrt{x^2+r^2+(R+r)^2})$ $dt=\frac{xdx}{\sqrt{x^2+r^2+(R+r)^2}}$,$x=\sqrt{t^2-r^2-(R+r)^2}$, подставим в интеграл, получим:
$(-1)\int\limits_{}^{}\frac{\sqrt{t^2+r^2-(R+r)^2}}{r+t}dt$, замена переменной:$m=r+t$,$t=m-r$
$(-1\int\limits_{}^{}\frac{\sqrt{(m-r)^2-r^2-(R+r)^2}}{m}dm=(-1)\int\limits_{}^{}\frac{\sqrt{m^2-2rm-(R+r)^2}}{m}dm$ ,$a=1$,$b=-2r$, $c=-(R+r)^2$
Согласно таблицам интегралов(Двайт) 380.311
$\int\limits_{}^{}\frac{\sqrt{am^2+bm+c}}{m}=\sqrt{am^2+bm+c}+\frac{b}{2}\int\limits_{}^{}\frac{dm}{\sqrt{am^2+bm+c}}+c\int\limits_{}^{}\frac{dm}{m\sqrt{am^2+bm+c}}$
Интеграл во втором слагаемом согласно таблицам 380.001 равен $a\geqslant0$:
$\int\limits_{}^{}\frac{dm}{\sqrt{am^2+bm+c}}=\frac{1}{\sqrt{a}}\ln|2(a\sqrt{am^2+bm+c})+2am+b|$
$\int\limits_{}^{}\frac{dm}{\sqrt{m^2-2rm-(R+r)^2}}=\ln(2\sqrt{m^2-2rm-(R+r)^2}+2m-2r)$
Интеграл в третьем слагаемом согласно таблицам 380.111 $c\leqslant0$,$b^2\geqslant4ac$
$\int\limits_{}^{}\frac{dm}{m\sqrt{am^2+bm+c}}=\frac{1}{\sqrt{-c}}\arcsin\frac{bm+2c}{|m|\sqrt{b^2-4ac}}$ тогда
$\int\limits_{}^{}\frac{dm}{m\sqrt{m^2-2rm-(R+r)^2}}=\frac{1}{(R+r)}\arcsin\frac{-2rm-2(R+r)^2}{m\sqrt{4r^2-(-(R+r))}}$, подставляем в (***)
$I_3=x\ln(r+\sqrt{x^2+r^2+(R+r)^2})+$$(-1)\left\lbrace[\sqrt{m^2-2rm-(R+r)^2}-$$r\ln(2\sqrt{m^2-2rm-(R+r)^2}+2m-2r)-$$\frac{(R+r)^2}{(R+r)}\arcsin\frac{-2rm-2(R+r)^2}{m\sqrt{4r^2-4(-(R+r)^2))}}]$, в выражениях в скобках возвращаемся сначала к переменной t, а далее к пер. х, так как $m=r+t=r+$$\sqrt{x^2+r^2+(R+r)^2}$
$\sqrt{m^2-2rm-(R+r)^2}=$
$\sqrt{(r+\sqrt{x^2+r^2+(R+r)^2})^2-2r(r+\sqrt{x^2+r^2+(R+r)^2})-(R+r)^2}=$
$\sqrt{r^2+2r\sqrt{x^2+r^2+(R+r)^2}+x^2+r^2+(R+r)^2-2r^2-2r\sqrt{x^2+r^2+(R+r)^2}$$-(R+r)^2}=x$
$I_3=x\ln(r+\sqrt{x^2+r^2+(R+r)^2})-x+r\ln(2x+2\sqrt{x^2+r^2+(R+r)^2})+(R+r)\arcsin)\frac{-2r(r+\sqrt{x^2+r^2+(R+r)^2})-2(R+r)^2}{(r+\sqrt{x^2+r^2+(R+r)^2})\sqrt{4r^2+4(R+r)^2})}$

найдем$ I_4$

$I_4=\int\limits_{-r}^{+r}\ln(-r+\sqrt{x^2+r^2+(R+r)^2})dx$ интегрируем по частям
$u=\ln(-r+\sqrt{x^2+r^2+(R+r)^2})$, $dv=dx$
$I_4=x\ln(-r+\sqrt{x^2+r^2+(R+r)^2})-\int\limits_{}^{}\frac{x^2}{(-r+\sqrt{x^2+r^2+(R+r)^2})\sqrt{x^2+r^2+(R+r)^2}}dx$$(****)$
$t=\sqrt{x^2+r^2+(R+r)^2}$,$dt=\frac{x}{\sqrt{x^2+r^2+(R+r)^2}}dx$,$x=\sqrt{t^2-r^2-(R+r)^2}$
Подставим в интеграл(****)
$(-1)\int\limits_{}^{}\frac{\sqrt{t^2-r^2-(R+r)^2}}{-r+t}dt$
,$m=-r+t$,$t=m+r$,$dt=dm$
$(-1)\int\limits_{}^{}\frac{\sqrt{(m+r)^2-r^2-(R+r)^2}}{m}dm=(-1)\int\limits_{}^{}\frac{\sqrt{m^2+2rm-(R+r)^2}}{m}dm$,$a=1$,$b=2r$,$c=-(R+r)^2$
Согласно таблицам интегралов(Двайт)380.311:
$\int\limits_{}^{}\frac{\sqrt{am^2+bm+c}}{m}dm=\sqrt{am^2+bm+c}+\frac{b}{2}\int\limits_{}^{}\frac{dm}{\sqrt{am^2+bm+c}}+c\frac{dm}{m\sqrt{am^2+bm+c}}$
$(-1)\int\limits_{}^{}\frac{\sqrt{m^2+2rm-(R+r)^2}}{m}dm=(-1)[\sqrt{m^2+2rm-(R+r)^2}+r\int\limits_{}^{}\frac{dm}{\sqrt{m^2+2rm-(R+r)^2}}-(R+r)^2\int\limits_{}^{}\frac{dm}{m\sqrt{m^2+2rm-(R+r)^2}}]$
интеграл второго слагаемого в скобках согласно таблицам 380.001 $a\geqslant0$
$\int\limits_{}^{}\frac{dm}{\sqrt{am^2+bm+c}}=\frac{1}{\sqrt{a}}\ln|2(\sqrt{a(am^2+bm+c)}+2am+b|$
$\int\limits_{}^{}\frac{dm}{\sqrt{m^2+2rm-(R+r)^2}}=\ln(2\sqrt{m^2+2rm-(R+r)^2}+2m+2r)$
Интеграл третьего слагаемого в скобках согласно таблицам 380.111 $c\leqslant0$,$b^2\geqslant4ac$
$\int\limits_{}^{}\frac{dm}{m\sqrt{am^2+bm+c}}=\frac{1}{-\sqrt{c}}\arcsin\frac{bm+2c}{|m|\sqrt{b^2-4ac}}$
$\int\limits_{}^{}\frac{dm}{m\sqrt{m^2+2rm-(R+r)^2}}=\frac{1}{(R+r)}\arcsin\frac{2rm-2(R+r)^2}{m\sqrt{4r^2-4(-(R+r))}}$
Подставляем в выражение(****):
$I_4=x\ln(-r+\sqrt{x^2+r^2+(R+r)^2})+$$(-1)\left\lbrace[\sqrt{m^2+2rm-(R+r)^2}+r\ln(2\sqrt{m^2+2rm-(R+r)^2}+2m+2r)$$-(R+r)\arcsin\frac{2rm-2(R+r)^2}{m\sqrt{4r^2-4(-(R+r)^2)}}]$Вернемся к переменной t и далее к х:$m=-r+t=-r+\sqrt{x^2+r^2+(R+r)^2}$
$\sqrt{m^2+2r-(R+r)^2}=$$\sqrt{(-r+\sqrt{x^2+r^2+(R+r)^2})+2r(-r+\sqrt{x^2+r^2+(R+r)^2})-(R+r)^2}=$
$\sqrt{r^2-2r\sqrt{x^2+r^2+(R+r)^2}+x^2+r^2+(R+r)^2-2r^2+2r\sqrt{x^2+r^2+(R+r)^2}$ $-(R+r)^2}=x$
$I_4=x\ln(-r+\sqrt{x^2+r^2+(R+r)^2})-x-r\ln(2x+2\sqrt{x^2+r^2+(R+r)^2})+(R+r)\arcsin\frac{2r(-r+\sqrt{x^2+r^2+(R+r)^2})-2(R+r)^2}{(-r+\sqrt{x^2+r^2+(R+r)^2})\sqrt{4r^2+4(R+r)^2}}$



Вернемся к напряженности гравиполя
$H=I_1-I_2-I_3+I_4$
При подстановке пределов для$x=-r$,$x=+r$, все члены, где есть арксинус сократятся, т.к. $x^2$,$(-r)^2=(+r)^2$, следовательно останутся:
$H=x\ln(r+\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2})-x+r\ln(2x+2\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2})-$
$x\ln(-r+\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2})+x+r\ln(2x+2\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2})-$
$x\ln(r+\sqrt{x^2+r^2+(R+r)^2})+x-r\ln(2x+2\sqrt{x^2+r^2+(R+r)^2})+$
$x\ln(-r+\sqrt{x^2+r^2+(R+r)^2})-x-r\ln(2x+2\sqrt{x^2+r^2+(R+r)^2})$
Х-ы, сокращаются. В оставшемся выражении складываем одинаковые логарифмы:
$x\ln(r+\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2})+2r\ln(2x+2\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2})-$
$x\ln(-r+\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2})-$
$x\ln(r+\sqrt{x^2+r^2+(R+r)^2})-2r\ln(2x+2\sqrt{x^2+r^2+(R+r)^2})+$
$x\ln(-r+\sqrt{x^2+r^2+(R+r)^2})$
В слагаемых выносим 2 из под знака логарифма:
$x\ln(r+\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2})+$
$2r\ln2+2r\ln(x+\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2})-$
$x\ln(-r+\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2})-$
$x\ln(r+\sqrt{x^2+r^2+(R+r)^2})-2r\ln2-2r\ln(x+\sqrt{x^2+r^2+(R+r)^2})+$
$x\ln(-r+\sqrt{x^2+r^2+(R+r)^2})$
После сокращения получим:
$H=x\ln(r+\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2})+2r\ln(x+\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2}-$
$x\ln(-r+\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2})-$$x\ln(r+\sqrt{x^2+r^2+(R+r)^2})-2r\ln(x+\sqrt{x^2+r^2+(R+r)^2}+$
$x\ln(-r+\sqrt{x^2+r^2+(R+r)^2})$поставим пределы интегрирования $x=-r$,$x=+r$, получим:
$H=r\ln(r+\sqrt{r^2+r^2+(R-r)^2})+r\ln(r+\sqrt{r^2+r^2+(R-r)^2})+$
$+2[r\ln(r+\sqrt{r^2+r^2+(R-r)^2})-r\ln(-r+\sqrt{r^2+r^2+(R-r)^2})]$
$-[r\ln(-r+\sqrt{r^2+r^2+(R-r)^2})+r\ln(-r+\sqrt{r^2+r^2+(R-r)^2})]$
$-[r\ln(r+\sqrt{r^2+r^2+(R+r)^2})+r\ln(r+\sqrt{r^2+r^2+(R+r)^2})]$
$-2[r\ln(r+\sqrt{r^2+r^2+(R+r)^2})-r\ln(-r+\sqrt{r^2+r^2+(R+r)^2})]$
$+r\ln(-r+$\sqrt{r^2+r^2+(R+r)^2})+r\ln(-r+\sqrt{r^2+r^2+(R+r)^2})$
----------------------------------------------------------------------------
$H=4r\ln(r+\sqrt{r^2+r^2+(R-r)^2})-4r\ln(-r+\sqrt{r^2+r^2+(R-r)^2})$
$-4r\ln(r+\sqrt{r^2+r^2+(R+r)^2})+4r\ln(-r+\sqrt{r^2+r^2+(R+r)^2})$
Преобразуем с учетом гравитационной постоянной и плотности куба $\rho_{k}$

$$H=4rG\rho_{k}\ln[\frac{(r+\sqrt{2r^2+(R-r)^2})(-r+\sqrt{2r^2+(R+r)^2})}{(-r+\sqrt{2r^2+(R-r)^2})(r+\sqrt{2r^2+(R+r)^2})}]$$

пусть куб с ребром $2r$ и шар радиусом $r$и плотности$\rho_{0}$, имеют одну и ту же массу:

$$\rho_{0}\frac{4}{3}\pi r^3=\rho_{k}8r^3$$

Тогда плотность шара будет выражаться:

$$\rho_{0}=\rho_{k}\frac{24}{4\pi}$$

Напряженность гравиполя шара равна:

$$H_0= \rho_0 \frac{4}{3}\pi r^3 G\frac{1}{R^2}$$

найдем отношение поля шара к полю куба:

$$\frac{H_0}{H_{k}}=\frac{\rho_0\frac{4 \pi r^3 G}{3R^2}}{4r G\rho_{k}\ln(....)}$$

Приведем к единой плотности $\rho_{k}$:

$$\frac{H_0}{H_{k}}=\frac{\rho_{k}\frac{24}{4\pi}\frac{4 \pi r^3G}{3 R^2}}{4rG\rho_{k}\ln(....)}$$

$(*)$

Введем переменную :

$$n=\frac{R}{r}$$

Тогда выражение (*) будет иметь вид:

$$\frac{H_0}{H_{k}}=\frac{\frac{2}{n^2}}{\ln[\frac{(1+\sqrt{2+(n-1)^2})(-1+\sqrt{2+(n+1)^2})}{(-1+\sqrt{2+(n-1)^2})(1+\sqrt{2+(n+1)^2})}]}$$

Предел этого выражения при $n$ стремящимся к бесконечности равен 0.5:
После упрощения выражение будет иметь вид:

$$\frac{H_0}{H_{k}}=\lim_{n}{}\frac{\frac{2}{n^2}}{\ln[\frac{n n}{(n-2)(n+2)}]}=\frac{0}{0}$$

Берем производную от числителя и знаменателя:

$$\lim_{n}{}\frac{\frac{-4}{n^3}}{\frac{n^2-4}{n^2}\frac{2n(n^2-4)-n^22 n}{(n^2-4)^2}}=\frac{1}{2}$$

То есть на бесконечности куб будет притягивать в два раза сильнее.
Но это ошибочный результат.

[ИСН]

Может, просто поделить его на 2 и сделать вид, что так и было?

[Kuga]

Вместо того, чтобы вычислять $I_1$ и $I_2$ по отдельности можно вычислить только одно из них, скажем $I_1$, затем заметить, что сумма $I_1$ и $I_2$ вычисляется относительно просто, и отсюда найти $I_2$. $I_3$ отличается от $I_1$ заменой $R\to -R$, аналогично $I_4$. Все это позволит почти в 4 раза сократить объем вычислений.

Затем можно сделать численную проверку, что интегралы $I_i$ вычислены верно, подставив рандомные значения $r$ и $R$. Это поможет локализовать ошибку.

[mihail2102]

Я очень извиняюсь: в начале первого сообщения, в постановке, удаление контрольной точки от центра масс куба обозначается как $R_{0}$, а далее
используется обозначение$R$, по смыслу понятно, но я еще раз декларирую$R_{0}=R$.

[mihail2102]

Большая просьба проверить правильность интеграла $I_{1}$. Мне представляется, что в алгоритме взятия подобных интегралов присутствует принципиальная ошибка, которая мне не очевидна. Заранее благодарен.

[svv]

Действительно, ошибка есть, но она не в найденном выражении для $I_1$. Мне будет легче продемонстрировать её природу и способ её исправления на численных примерах, причём в вычислениях я полагаюсь на Вашу помощь. Обозначим
$I_{1}(R,r,a,b)=\int\limits_{a}^{b}\ln(r+\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2})\;dx$
и
$\begin{array}{l}J_{1}(R,r,x)=x\ln(r+\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2})-x\\+r\ln(2x+2\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2})\\+(R-r)\arcsin\dfrac{-2r(r+\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2})-2(R-r)^2}{(r+\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2})\sqrt{4r^2+4(R-r)^2}}\end{array}$
(я ничего тут не менял)

Возьмём $R=10, r=1$. Используя какой-нибудь математический пакет, найдите с точностью 3-4 знака после запятой:
$\bullet\;I_1(R,r,-1,1)$
$\bullet\;2I_1(R,r,0,1)$
$\bullet\;J_1(R,r,1)-J_1(R,r,-1)$
$\bullet\;2\bigl(J_1(R,r,1)-J_1(R,r,0)\bigr)$
Сюрприз обещаю.

[svv]

И, разумеется, сообщите, какие получились числа, пожалуйста.

[mihail2102]

$I_{1}(R,r,-1,1)=4.6245$
$2I_{1}(R,r,0,1)=4.6292$
$J_{1}(R,r,1)-J_{1}(R,r,-1)=2.847553$
$2(J_{1}(R,r,1)-J_{1}(R,r,0))=2.8354$

[svv]

Первое и второе, понятно, должны быть равны: при чётной $f(x)$
$\int\limits_{-1}^{1}f(x)\;dx=2\int\limits_{0}^{1}f(x)\;dx$
Проверяем с помощью Wolfram|Alpha.

mihail2102 в сообщении #1596184 писал(а):

$I_{1}(R,r,-1,1)=4.6245$

Запрос: Integrate[Log[1 + Sqrt[x^2+1^2+(10-1)^2]], {x, -1, 1}]
Результат: $4.61986477048514$. Будем считать, совпадает.

mihail2102 в сообщении #1596184 писал(а):

$2I_{1}(R,r,0,1)=4.6292$

Запрос: 2*Integrate[Log[1 + Sqrt[x^2+1^2+(10-1)^2]], {x, 0, 1}]
Результат: $4.61986477048514$. Будем считать, тоже совпадает, хотя погрешность почти $0.01$.

mihail2102 в сообщении #1596184 писал(а):

$J_{1}(R,r,1)-J_{1}(R,r,-1)=2.847553$

У меня так же, $2.847552$.

mihail2102 в сообщении #1596184 писал(а):

$2(J_{1}(R,r,1)-J_{1}(R,r,0))=2.8354$

Нет, это совсем неправильно. Поищите, пожалуйста, ошибку.

[mihail2102]

$J_{1}(R,r,1)=-8.9307277$
$J_{1}(R,r,0)=-10.34844$
$2(-8.9307277-(-10.34844))=2.8354246$

[svv]

$J_{1}(R,r,1)$ у меня и у Вас сходится (это очень хорошо!), а $J_{1}(R,r,0)$ не сходится.

Подставим $R=10, r=1, x=0$ в выражение для $J_{1}(R,r,x)$.
Величина $t=\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2}=\sqrt{r^2+(R-r)^2}=\sqrt{82}$.
В выражении
$\begin{array}{l}J_{1}(R,r,x)=x\ln(r+\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2})-x\\+r\ln(2x+2\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2})\\+(R-r)\arcsin\dfrac{-2r(r+\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2})-2(R-r)^2}{(r+\sqrt{x^2+r^2+(R-r)^2})\sqrt{4r^2+4(R-r)^2}}\end{array}$
первая строка равна $0$, вторая равна $\ln(2t)\approx 2.8965$.

В дроби под арксинусом сократим двойки в числителе с четвёрками под вторым корнем в знаменателе. Теперь все три корня в дроби равны $t$. Дробь равна
$-\dfrac{r(r+t)+(R-r)^2}{(r+t)t}=-\dfrac{t^2+rt}{(r+t)t}=-1$
Третья строка равна
$(R-r)\arcsin(-1)=-\dfrac{9\pi}{2}$
Всё верно?

[mihail2102]

Я ошибся
$2(J_{1}(R,r,1)-J_{1}(R,r,0))=-5.654469$

[svv]

Тоже нет.

[mihail2102]

Я очень извиняюсь....величина равна 10.398544

[svv]

Нет. Я предложил способ сверки: в формуле для $J_1(R,r,x)$ при $R=10, r=1, x=0$ первая строка равна 0, вторая $\ln(2\sqrt{82})\approx 2.8965$, третья $-\frac 9 2\pi\approx -14.1372$. У Вас тоже так?