Симметричные кортежи из последовательных простых чисел

[Dmitriy40]

Счёт достиг $2\cdot 10^{17}$, результаты выложены на сайте проекта, минимальность КПППЧ17 подтверждена. Круто! Поздравляю всех с этим достижением.
Последовательности A055380 и A175309 обновил (со ссылкой на сайт BOINC проекта).
Также подтверждены очередные 14 квадратов из найденных Врублевским на конкурс. Новых неизвестных квадратов не обнаружено. A256234 снова обновлена.

[Dmitriy40]

Товарищи досчитали до $5 \cdot 10^{17}$, результаты там же (на сайте проекта).
Найдено 7 неизвестных ранее квадратов с диаметрами больше $360$! И подтверждены 17 квадратов из найденных ранее Врублевским на конкурс.
В том числе установлен номер одного из первых известных (найден им же) квадрата из КПППЧ 320572022166380833: 0 6 10 16 18 24 28 34 60 66 70 76 78 84 88 94 - он 43-й.
Один из новых квадратов обновил рекорд диаметра, да ещё и круглый: 355674788339063021: 0 30 138 140 168 170 192 222 278 308 330 332 360 362 470 500.
A256234 снова обновил, надеюсь утвердят быстро.

[Dmitriy40]

По поводу пока так и не найденной КПППЧ19 с минимальным диаметром 252, покажу несколько наиболее интересных приближений.
20502399070486534394861: [ 0, 6, 12, 30, 42, 72, 90, 96, 120, 126, 132, 156, 162, 180, 210, 222,+240, 246, 252], len=18, valids=18
Всего одна ошибка! Лишь одно число оказалось не простым. Это рекордное приближение к решению на данный момент.
41838830189405827341431: [ +0, 6, +12, 30, 42, 72, 90, 96, 120, 126, 132, 156, 162, 180, 210, 222, 240, 246, 252], len=17, valids=17
Две ошибки, лишь два числа оказались не простыми, причём с одного края.
27275111515377425229457: [ 0, 6, +12, -22, 30, 42, 72, 90, 96, 120, 126, 132, 156, 162, 180, 210, 222, 240,+246, 252], len=18, valids=17
Три ошибки, два числа оказались не простыми, а одно наоборот, оказалось простым там где должно быть составное.
И все три указанные выше цепочки содержат в центре цепочку длиной 13.
53166202711423237425917: [ 0, 6, 12, 30, 42, 72, 90, 96, 120, 126, 132, 156, 162,+180, 210, 222,-230, 240, 246, 252], len=19, valids=18
Тоже всего две ошибки, одно лишнее простое и одно составное вместо простого.
43127370078038914031731: [ +0, 6, 12, 30, 42, +72, 90, 96, 120, 126, 132, 156, 162, 180, 210, 222, 240, 246, 252], len=17, valids=17
61305129793647814113707: [ 0, +6, 12, 30, 42, 72, 90, 96,+120, 126, 132, 156, 162, 180, 210, 222, 240, 246, 252], len=17, valids=17
Тоже по две ошибки, два числа оказались не простыми.
52065442694702929857901: [ 0, 6, 12, -22, 30, 42, -46, -70, 72, 90, 96,-100, 120, 126,-130, 132, 156, 162, 180, 210, 222,-238,+240, 246, 252], len=24, valids=18
Самая длинная цепочка с 18 правильными числами. В диаметр 252 влезло 24 простых.
40967835799419279759221: [ 0, -2, 6, 12, -20, 30, 42, -48, -68, +72, -78, 90, 96, -98, 120, 126, 132,-146, 156, 162, 180,-188, 210,-212,+222, 240, 246, 252], len=26, valids=17
Самая длинная цепочка из обнаруженных, в диаметр 252 влезло 26 простых (из которых 17 стоят на правильном месте в паттерне).

Обозначения: + указывает что на данном месте число оказалось составным, хотя должно быть простым; - означает что число оказалось простым, хотя должно быть составным; len это сколько простых влезло в диаметр 252 (если крайние тоже простые, или в даже меньший диаметр); vailds это сколько простых стоят на своём месте в паттерне (не считая лишних простых).

[Dmitriy40]

Покажу одну найденную девятнашку с двумя дырками (несовпадением с паттерном, выделены жирным):
21105221303829204321707:[-54, 6, 12, 30, 42, 72, 90, 96, 120, 126, 132, 156, 162, 174, 210, 222, 240, 246, 252], valids=17
С тремя дырками найдено 12шт.

[Yadryara]

Вроде понятно даже мне: -54 — эта прибавка даёт простое число вместо нулевой, а 174 — простое число вместо 180.

Рассказывайте и дальше, я могу немного подквакивать, чтобы тема не превратилась в блог.

[Dmitriy40]

Да пока особо не о чем рассказывать, работа идёт, не писать же каждый день про 100500 новых кандидатов в решения (а на сегодня найдено 426 тысяч кандидатов, из которых почти 38 тысяч имеют ровно по 19 простых в интервале [0,252] и у 15.5 тысяч в этот интервал влезло больше 19 простых, три цепочки (одна показана выше) имеют по 26 простых, 8 цепочек по 25 простых).

Ну вот ещё одна из последних находок (соответственно до неё решения не обнаружено, полуоптимистичная надежда что решение будет до 1e23 не оправдалась):
121334429424780609683027: [ 0, 6, 12, 30, 42, 72, 90, 96,+120, 126, 132,+156, 162, 180, 210, 222, 240, 246, 252], len=17, valids=17
Тут два числа из паттерна оказались не простыми (помечены плюсиками). Зато все остальные 17шт в интервале [0,252] действительно простые и в промежутках лишних простых не оказалось. Это разве непонятно? И аналогичных цепочек найдено ещё 5шт к этой и трём показанным выше.

Но если в этой цепочке посчитать дырки (снова выделены жирным) считая центр (126) правильным:
121334429424780609683027:[-34, 0, 6, 12, 30, 42, 72, 90, 96, 126, 132, 162, 180, 210, 222, 240, 246, 252, 272], valids=2
То их тут аж 17! Так как пропущены 120 и 156, а следовательно всё левее и правее них тоже ошибочно (стоит не на своём месте), хотя реально числа и простые и стоят на нужных смещениях в паттерне, но из-за пропусков нарушена правильная последовательность простых и потому правильные числа (все кроме -34 и 272) записываются в ошибочные (дырки). И потому мне больше нравится мой вариант подсчёта ошибок (не дырок). Ещё и потому что он более адекватен алгоритму поиска в программе, которая ищет не 19 последовательных простых чисел, а 19 псевдопростых чисел по указанным в паттерне смещениям, игнорируя возможное наличие простых в промежутках, отсутствие последних (как и простота псевдопростых) допроверяется уже потом в PARI, это цена за скорость работы. Впрочем не настаиваю, другие программы могут искать цепочки другими способами и для них возможно удобнее считать количество ошибок/дырок по другому.

PS. За антибложик спасибо, хоть модератор(ы) и перестал(и) за них наказывать (кроме вопиющих случаев), но в правилах остаётся и не подставляться лишним не будет.

[Dmitriy40]

Найдена интересная цепочка:
154787380396512840656501:[-28, 6, 12, 30, 42, 72, 90, 96, 120, 126, 132, 156, 162, 180, 210, 222, 240, 246, 252], valids=18
Тут все 18 чисел кроме первого правильные. Т.е. она содержит и правильную 17-ку (и более короткие конечно).
Это на данный момент лучшее приближение к искомому решению.

[Yadryara]

Проздравляю с отличным приближением! Всего один промах. (Мне не нравится термин "дырка".) А это единственный такой вариант? А с двумя промахами сколько?

Dmitriy40 в сообщении #1595942 писал(а):

Да пока особо не о чем рассказывать, работа идёт, не писать же каждый день про 100500 новых кандидатов в решения

Ну, раз-другой в месяц-то можно Напишите, можно будет прикинуть вероятность успеха.

[Yadryara]

Я тут прикинул пока среднюю частотность дельт(гэпов) на этой высоте($16e22$). В среднем на тысячу встречается:

$6$ — $48$
$12$ — $43$
$18$ — $39$
$24$ — $35$
$30$ — $41$

Ну то бишь интервал $24$ встречается реже всего. Может ли это как-то помочь, не знаю.

[Dmitriy40]

Yadryara в сообщении #1597731 писал(а):

А это единственный такой вариант? А с двумя промахами сколько?

Именно такой, с ошибкой на краю и центральной 17-ой - один. Вообще же с одной ошибкой - несколько (включая и показанные выше):
20502399070486534394861: [ 0, 6, 12, 30, 42, 72, 90, 96, 120, 126, 132, 156, 162, 180, 210, 222,+240, 246, 252], len=18, valids=18
152280801556172495686561: [ 0, 6, 12, 30, +42, 72, 90, 96, 120, 126, 132, 156, 162, 180, 210, 222, 240, 246, 252], len=18, valids=18
154787380396512840656501: [ +0, 6, 12, 30, 42, 72, 90, 96, 120, 126, 132, 156, 162, 180, 210, 222, 240, 246, 252], len=18, valids=18
163238587802201963204821: [ 0, +6, 12, 30, 42, 72, 90, 96, 120, 126, 132, 156, 162, 180, 210, 222, 240, 246, 252], len=18, valids=18

С двумя ошибками уже полтора десятка:
6360595408582943672357: [ 0, 6, 12, 30, +42, 72, 90, 96, 120, 126, 132, 156,+162, 180, 210, 222, 240, 246, 252], len=17, valids=17
6675419411387957840537: [ 0, 6, 12, 30, 42, 72, 90, 96, 120, 126,+132, 156, 162,+180, 210, 222, 240, 246, 252], len=17, valids=17
8145451619984615430421: [ 0, 6, 12, 30, 42, 72, 90, +96, 120, 126, 132, 156, 162, 180, 210, 222,+240, 246, 252], len=17, valids=17
18240548996609932362191: [ 0, 6, 12, 30, 42, 72, 90, +96, 120, 126, 132, 156, 162, 180, 210, 222,+240, 246, 252], len=17, valids=17
41838830189405827341431: [ +0, 6, +12, 30, 42, 72, 90, 96, 120, 126, 132, 156, 162, 180, 210, 222, 240, 246, 252], len=17, valids=17
43127370078038914031731: [ +0, 6, 12, 30, 42, +72, 90, 96, 120, 126, 132, 156, 162, 180, 210, 222, 240, 246, 252], len=17, valids=17
61305129793647814113707: [ 0, +6, 12, 30, 42, 72, 90, 96,+120, 126, 132, 156, 162, 180, 210, 222, 240, 246, 252], len=17, valids=17
100950767205701179436491: [ 0, +6, +12, 30, 42, 72, 90, 96, 120, 126, 132, 156, 162, 180, 210, 222, 240, 246, 252], len=17, valids=17
110005024386333144258271: [ 0, +6, 12, 30, 42, 72, 90, 96, 120, 126, 132, 156, 162, 180,+210, 222, 240, 246, 252], len=17, valids=17
117513027297518766633541: [ 0, 6, 12, 30, 42, 72, 90, 96, 120, 126, 132, 156,+162,+180, 210, 222, 240, 246, 252], len=17, valids=17
117978427716342034346887: [ +0, 6, 12, 30, 42, 72, 90, +96, 120, 126, 132, 156, 162, 180, 210, 222, 240, 246, 252], len=17, valids=17
121334429424780609683027: [ 0, 6, 12, 30, 42, 72, 90, 96,+120, 126, 132,+156, 162, 180, 210, 222, 240, 246, 252], len=17, valids=17
148584425101718512600621: [ 0, 6, 12, 30, 42, 72, 90, 96,+120, 126, 132, 156, 162, 180, 210, 222,+240, 246, 252], len=17, valids=17
В них два числа из паттерна оказались не простыми.
53166202711423237425917: [ 0, 6, 12, 30, 42, 72, 90, 96, 120, 126, 132, 156, 162,+180, 210, 222,-230, 240, 246, 252], len=19, valids=18
155165228183592778895411: [ 0, 6, 12, 30, 42, 72, 90, 96, 120, 126, 132, 156, 162, 180,-188, 210, 222, 240,+246, 252], len=19, valids=18
В этих не простым оказалось лишь одно число из паттерна, но зато вклинилось лишнее простое (показано со знаком минус).

Yadryara в сообщении #1597731 писал(а):

Напишите, можно будет прикинуть вероятность успеха.

Не думаю, статистика слишком скошенная (я не вывожу в лог слишком короткие цепочки, их миллионы). Ну вот на текущий момент:
С 19-ю правильными числами из паттерна (это не обязательно решение, могут быть лишние простые) - ни одной цепочки.
С 18-ю правильными числами из паттерна - 20 штук (часть показана выше).
С 17-ю правильными числами из паттерна - 299 штук (часть показана выше).
С 16-ю правильными числами из паттерна (число этих сильно занижено так как в лог пишутся только цепочки не короче 17-ти) - 2648 штук.
Всего кандидатов в решение (длиной не менее 17) - 602817 штук.

Судя по тому как резко посыпались цепочки с valids=18 (т.е. с 18-ю правильными простыми числами из 19-ти) где-то с 15e22 (на интервал в 150-165e21 их пришлось 5шт из 20шт всего), надеюсь искомое решение уже близко.

[Yadryara]

Yadryara в сообщении #1597731 писал(а):

можно будет прикинуть вероятность успеха.

Простое перемножение вероятностей вроде не годится для длинных цепочек.

Для центральных 5-к $(24, 6, 6, 24)$ ещё годится:

$$10^8\cdot(0.034\cdot0.047\cdot0.047\cdot 0.034) \approx 255$$

То бишь $255$ таких пятёрок должно встречаться на каждые $100$ миллионов простых чисел. Или, учитывая, что на высоте $18e22$ простым является примерно каждое $54$-е число, одна такая 5-ка будет приходиться в среднем на каждый $21$ миллион всех натуральных чисел.

Очень хорошее согласие с реальным результатом: стартуя с $18e22$ и перебрав $100$ миллионов простых чисел, нашёл $249$ таких пятёрок.

Но уже для 6-к $(24, 6, 6, 24, 6)$ этот метод не работает, их пока находится в полтора раза больше теоретической прикидки($30$ против $20$).

[Yadryara]

Yadryara в сообщении #1597984 писал(а):

Но уже для 6-к $(24, 6, 6, 24, 6)$ этот метод не работает, их пока находится в полтора раза больше теоретической прикидки($30$ против $20$).

Сейчас уже не так сильно различаются: $97$ против $73$. Может стоит ввести какой-то поправочный кэф и всё-таки попытаться оценить вероятности для более длинных цепочек(кортежей).

Кстати, может кто подскажет, как быстрей сделать поиск центральных 7-к. Я пока так 6-ки ищу:

(Код)

{pf=18*10^22;
N=10^9;
print();
n=1; p=nextprime(pf); tup=0;
for (j=1, N, pn=nextprime(p+1);
if( pn-p==24 && nextprime(pn+1)-pn==6 && nextprime(pn+7)-pn==12 && nextprime(pn+13)-pn==36 && nextprime(pn+37)-pn==42,
tup++;isk=p;print(tup, " ",isk);p=pn;next);
p=pn;
);
print();print(pn);print();
print(tup);
print();}
quit;

Dmitriy40, а 17-ка с диаметром 240 была Вами найдена только одна?

Насколько я понимаю, Jarek нашёл шесть таких 17-к:

$ 1006882292528806742267$

$ 3954328349097827424397$

$ 4896552110116770789773$

$ 6751407944109046348063$

$ 7768326730875185894807$

$ 19252814175273852997757$

Взято отсюда https://boinc.progger.info/odlk/forum_thread.php?id=237&postid=11957#11957

[Yadryara]

Yadryara в сообщении #1598167 писал(а):

Dmitriy40, а 17-ка с диаметром 240 была Вами найдена только одна?

Уточню, хотя думал, что и так понятно. Я имел в виду именно центральные 17-ки, паттерны которых внутри искомой 19-ки. Собственно, паттерны 5-к, 6-к и 7-к, о которых я говорил выше, тоже именно те, что внутри искомой 19-ки, в центре.

А паттерн искомой 19-ки с минимальным диаметром 252 возможен ровно один. Так?

[Dmitriy40]

Yadryara в сообщении #1598177 писал(а):

А паттерн искомой 19-ки с минимальным диаметром 252 возможен ровно один. Так?

Да, ровно один.

Yadryara в сообщении #1598167 писал(а):

Dmitriy40, а 17-ка с диаметром 240 была Вами найдена только одна?

Да, только одна:
154787380396512840656501: [ +0, 6, 12, 30, 42, 72, 90, 96, 120, 126, 132, 156, 162, 180, 210, 222, 240, 246, 252], len=18, valids=18
Есть ещё одна центральная 15-ка:
163238587802201963204821: [ 0, +6, 12, 30, 42, 72, 90, 96, 120, 126, 132, 156, 162, 180, 210, 222, 240, 246, 252], len=18, valids=18
Обе они были показаны выше.
Центральных 13-ек найдено 6шт (что-то уже показывал выше):
7594596712185208135337: [ +0, 6, +12, 30, 42, 72, 90, 96, 120, 126, 132, 156, 162, 180, 210, 222,-236,+240, 246, 252], len=17, valids=16
20502399070486534394861: [ 0, 6, 12, 30, 42, 72, 90, 96, 120, 126, 132, 156, 162, 180, 210, 222,+240, 246, 252], len=18, valids=18
27275111515377425229457: [ 0, 6, +12, -22, 30, 42, 72, 90, 96, 120, 126, 132, 156, 162, 180, 210, 222, 240,+246, 252], len=18, valids=17
41838830189405827341431: [ +0, 6, +12, 30, 42, 72, 90, 96, 120, 126, 132, 156, 162, 180, 210, 222, 240, 246, 252], len=17, valids=17
100950767205701179436491: [ 0, +6, +12, 30, 42, 72, 90, 96, 120, 126, 132, 156, 162, 180, 210, 222, 240, 246, 252], len=17, valids=17
117359975640200842134407: [ +0, 6, 12, 30, 42, 72, 90, 96, 120, 126, 132, 156, 162, 180, 210, 222,-224,+240, 246,+252], len=17, valids=16
Но напомню что в лог пишутся только цепочки длиной от 17 и выше (которые укладываются в интервал [0,252] относительно ожидаемого начала 19-ки), потому множество более коротких цепочек пропущено, даже если в них есть 15-ки и короче. Плюс в лог не попадают цепочки у которых на краях стоят не простые числа с небольшими делителями, а среди них тоже могут быть центральные 17-ки и короче. Потому что программа ищет 19-ку, а всё остальное исключительно в виде бонуса.

Yadryara в сообщении #1598167 писал(а):

Сейчас уже не так сильно различаются: $97$ против $73$. Может стоит ввести какой-то поправочный кэф и всё-таки попытаться оценить вероятности для более длинных цепочек(кортежей).

Думаю статистика слишком мала для получения точных совпадений опыта с теорией. При увеличении данных вероятности должны выравниваться.
Я оценивал где ждать 19-ку по другому: провёл экспоненциальный тренд через известные цепочки минимального диаметра длиной $n=9\ldots17$ ($0.0002 e^{3.3145n}$) и аппроксимировал его до 19, оценка получилась около 4.5e23, но с разбросом раз в пять в любую сторону. Если же взять не абы какие паттерны для этих цепочек, а только центральные из 19-ки, то оценка принимает вид $0.0002 e^{3.3852n}$ и даёт величину 1.7e24 с аналогичным разбросом. Конечно надёжность такой грубой оценки вообще никакая, но хотя бы очень примерно где стоит ожидать решения и сколько до него считать понять можно.

Yadryara в сообщении #1598167 писал(а):

Кстати, может кто подскажет, как быстрей сделать поиск центральных 7-к. Я пока так 6-ки ищу:

Особо быстрее на PARI не сделать, тут утыкается в скорость nextprime(), а замены ей нету (forprime() работает с той же скоростью).

[Yadryara]

Dmitriy40 в сообщении #1598186 писал(а):

Думаю статистика слишком мала для получения точных совпадений опыта с теорией. При увеличении данных вероятности должны выравниваться.

Сближаются данные потихоньку, но всё равно думаю, что теория(если так можно выразиться) неверна. 6-к в 1.3 раза больше найдено. Дальше расхождения ещё больше. Ведь для 17-к простое перемножение предсказывает одну на 6e23, а для 19-к — одну на 2.7e26.