\\\Уважаемые эксперты.
Получил выражение для гравиполя куба вдоль линии соединяющей центр масс куба и проходящей через середину ребра, для оценки этого выражения на бесконечном удалении.
Выражение получилось достаточно емкое и при численной проверке получается противоречие: видимо где-то присутствует ошибка. Много раз проверял и "патологически" не могу ее найти.
Ниже я подробно изложу материал, для того чтобы если кто-то будет помогать, просто пробежал "свежим" взглядом по выкладкам и обнаружил ошибку.
Так как объем аналитики содержит более 20 тыс. знаков, то материал придется излагать фрагментарно.
Заранее благодарен.
Куб, с ребром
![$2R$ $2R$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/d/aadb079978519a78a2e0a1254286d2e782.png)
, равномерной плотности
![$\rho_{k}$ $\rho_{k}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/2/4/124e6a95208fb9d3a8999eea479fb56282.png)
, расположен в системе координат так, что центр масс куба совпадает с началом координат, ось
![$Z$ $Z$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/b/5/5b51bd2e6f329245d425b8002d7cf94282.png)
проходит через середину ребра, диагональная плоскость куба совпадает с плоскостью
![$YOZ$ $YOZ$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/c/e/3ce5e06140f60f912bb17ead04e04a8882.png)
.
![$R_{0}$ $R_{0}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/e/7/1e7fcf6ac6efde96b00f244a4c962bd582.png)
контрольная точка на оси
![$OZ$ $OZ$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/6/d16c9ef002bf1794e8532e34f337f50282.png)
. Гравиполе будем находить вдоль оси
![$OZ$ $OZ$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/6/d16c9ef002bf1794e8532e34f337f50282.png)
за пределами пространства куба.
В данных условиях поле куба, без гравитационной постоянной будет иметь выражение:
Производная по z от выражения:
суть подынтегральное выражение. Следовательно интеграл по z, будет иметь вид:
это равно:
это равно:
Интегрируем по у эти два слагаемые(согласно Двайт 200.01
![$\int\limits_{}^{}\frac{dy}{\sqrt{a^2+y^2}}=\ln\parallel y+\sqrt{a^2+y^2}\parallel$ $\int\limits_{}^{}\frac{dy}{\sqrt{a^2+y^2}}=\ln\parallel y+\sqrt{a^2+y^2}\parallel$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/8/d/08db12ef5340e7da4593685f7ad79f3a82.png)
где:
![$a^2=2x^2+R_{0}^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+2R^2$ $a^2=2x^2+R_{0}^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+2R^2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/c/80c4dc2910b5ca0915ef56cd876bbc0a82.png)
для первого слагаемого и
![$ a^2=2x^2+R_{0}^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+2R^2$ $ a^2=2x^2+R_{0}^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+2R^2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/1/27149499bf874c9e8818b1172b96f4d882.png)
для второго слагаемого.)
получим:
Подставим пределы интегрирования :
![$y=R, y=0$ $y=R, y=0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/9/2/d9250309a470f4ad53a514408c070a4b82.png)
, получим:
![$-\left\lbrace\ln\parallel R+\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2+R^2}\parallel $ $-\left\lbrace\ln\parallel R+\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2+R^2}\parallel $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/6/7/267f27fb8591356084415c6f6b0543e482.png)
![$ -\ln\parallel \sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2}\parallel \right\rbrace $ $ -\ln\parallel \sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2}\parallel \right\rbrace $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/9/8/c98d893a76faf08d5caa98460e4142e982.png)
Остается интегрирование по переменной х. Так как при больших значениях
![$R_{0}$ $R_{0}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/e/7/1e7fcf6ac6efde96b00f244a4c962bd582.png)
выражение под логарифмом больше нуля, то модули можно заменить на круглые скобки.
Введем обозначения
В таких обозначениях выражение поля будет иметь вид:
Найдем интеграл
![$I_{11}$ $I_{11}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/8/2/682bb8b01fb08bd67ff72d6107b0e61182.png)
Берем по частям:
![$u=\ln(R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})$ $u=\ln(R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/d/c/cdc46475806958656b19ef16bac8b8e582.png)
![$$du=\frac{1}{(R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})}\frac{0,5(4x+2(R_{0}-\sqrt{2}R))dx}{\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2}}$$ $$du=\frac{1}{(R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})}\frac{0,5(4x+2(R_{0}-\sqrt{2}R))dx}{\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2}}$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/d/3/ed3dbb7d3a36f6bd9c966d0508f13e8182.png)
Для интегрирования перейдем к другим координатам:
Подставим в интегральное выражение:
![$$\int\limits_{}^{}\frac{0,5(4(t-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2})+2(R_{0}-\sqrt{2}R))(t-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2})dt}{\left\lbrace R+\sqrt{2(t-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2})^2+2(t-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2})(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2}\right\rbrace K}$$ $$\int\limits_{}^{}\frac{0,5(4(t-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2})+2(R_{0}-\sqrt{2}R))(t-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2})dt}{\left\lbrace R+\sqrt{2(t-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2})^2+2(t-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2})(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2}\right\rbrace K}$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/0/380c103fecfda96f0c2678d3134f53e382.png)
В числителе:
![$$\left\lbrace4(t-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2})+2(R_{0}-\sqrt{2}R)\right\rbrace(t-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2})=4(t-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2})^2+2t(R_{0}-\sqrt{2}R)-(R_{0}-\sqrt{2}R)^2$$ $$\left\lbrace4(t-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2})+2(R_{0}-\sqrt{2}R)\right\rbrace(t-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2})=4(t-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2})^2+2t(R_{0}-\sqrt{2}R)-(R_{0}-\sqrt{2}R)^2$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/f/acf11a5a2d8e91f907e14dc5b9eae34282.png)
![$$= 4t^2-4t(R_{0}-\sqrt{2}R)+(R_{0}-\sqrt{2}R)^2+2t(R_{0}-\sqrt{2}R)-(R_{0}-\sqrt{2}R)^2=4t^2-2t(R_{0}-\sqrt{2}R)$$ $$= 4t^2-4t(R_{0}-\sqrt{2}R)+(R_{0}-\sqrt{2}R)^2+2t(R_{0}-\sqrt{2}R)-(R_{0}-\sqrt{2}R)^2=4t^2-2t(R_{0}-\sqrt{2}R)$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/2/5/f258819597276b391889185bbde48f2c82.png)
В знаменателе под корнем:
![$$2\left\lbrace t^2-t(R_{0}-\sqrt{2}R)+\frac{(R_{0}-\sqrt{2}R)^2}{4}\right\rbrace+2t(R_{0}-\sqrt{2}R)-(R_{0}-\sqrt{2}R)^2-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2$$ $$2\left\lbrace t^2-t(R_{0}-\sqrt{2}R)+\frac{(R_{0}-\sqrt{2}R)^2}{4}\right\rbrace+2t(R_{0}-\sqrt{2}R)-(R_{0}-\sqrt{2}R)^2-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/c/e/dce9d55dc9e058c7888707c849262ff782.png)
![$$=2t^2-2t(R_{0}-\sqrt{2}R)+\frac{(R_{0}-\sqrt{2}R)^2}{2}+2t(R_{0}-\sqrt{2}R)-(R_{0}-\sqrt{2}R)^2-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2$$ $$=2t^2-2t(R_{0}-\sqrt{2}R)+\frac{(R_{0}-\sqrt{2}R)^2}{2}+2t(R_{0}-\sqrt{2}R)-(R_{0}-\sqrt{2}R)^2-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/1/d51ff74d1bc86ead7db2d0739725dba682.png)
![$$=2t^2-\frac{(R_{0}-\sqrt{2}R)^2}{2}-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2=2t^2-\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R-R^2-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2$$ $$=2t^2-\frac{(R_{0}-\sqrt{2}R)^2}{2}-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2=2t^2-\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R-R^2-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/9/1/991c39f1a2d8eadaec41897548294d8b82.png)
Искомый интеграл в новых переменных будет иметь вид:
![$$=\int\limits_{}^{}\frac{0,5\ 4t^2 dt}{(R+\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2}) (\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2})}$ $$=\int\limits_{}^{}\frac{0,5\ 4t^2 dt}{(R+\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2}) (\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2})}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/8/6d8ef55e96fa03a3dfa642f00509087482.png)
![$-(R_{0}-\sqrt{2}R)\int\limits_{}^{}\frac{0,5\ 2t dt}{(R+\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2})(\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2})}$$ $-(R_{0}-\sqrt{2}R)\int\limits_{}^{}\frac{0,5\ 2t dt}{(R+\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2})(\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2})}$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/c/2ac2f0dbab0c37620fd521ce790d2e8582.png)
Введем новую переменную:
![$$m=(R+\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2})=m^2-2Rm+R^2=2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2$$ $$m=(R+\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2})=m^2-2Rm+R^2=2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/a/aaafd148ac0ade1d5bf976447bc6939082.png)
В новой переменной искомый интеграл будет иметь вид:
Это табличные интегралы: (Двайт 380.311)
Второе и третье слагаемые также табличные интегралы (Двайт380.001,380.111)
В результате получим интеграл по переменной
![$ m $ $ m $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/3/7/7371e4a1b4ff766095a123b7f0023f5c82.png)
:
![$\frac{1}{\sqrt{2}}\left\lbrace\sqrt{m^2-2Rm+\sqrt{2}R_{0}R-\frac{R_{0}^2}{2}-R^2}-R\ln\parallel 2\sqrt{m^2-2Rm+\sqrt{2}R_{0}R-\frac{R_{0}^2}{2}-R^2}+2m-2R\parallel \right\rbrace -\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)\arcsin\frac{-2Rm-2(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2}{\parallel m \parallel (4R^2+4(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2)^\frac{1}{2}}-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}\ln m $ $\frac{1}{\sqrt{2}}\left\lbrace\sqrt{m^2-2Rm+\sqrt{2}R_{0}R-\frac{R_{0}^2}{2}-R^2}-R\ln\parallel 2\sqrt{m^2-2Rm+\sqrt{2}R_{0}R-\frac{R_{0}^2}{2}-R^2}+2m-2R\parallel \right\rbrace -\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)\arcsin\frac{-2Rm-2(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2}{\parallel m \parallel (4R^2+4(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2)^\frac{1}{2}}-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}\ln m $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/1/6/e16400fcee41d804b921b2cc70cd256f82.png)
Продолжим:результатом интегрирования по
![$m$ $m$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/5/0e51a2dede42189d77627c4d742822c382.png)
стало выражение:
![$\frac{1}{\sqrt{2}}\left\lbrace \sqrt{m^2-2Rm+\sqrt{2}R_{0}R-\frac{R_{0}^2}{2}-R^2}-R \ln \parallel 2\sqrt{m^2-2Rm+\sqrt{2}R_{0}R-\frac{R_{0}^2}{2}-R^2}+2m-2R\parallel \right\rbrace$ $\frac{1}{\sqrt{2}}\left\lbrace \sqrt{m^2-2Rm+\sqrt{2}R_{0}R-\frac{R_{0}^2}{2}-R^2}-R \ln \parallel 2\sqrt{m^2-2Rm+\sqrt{2}R_{0}R-\frac{R_{0}^2}{2}-R^2}+2m-2R\parallel \right\rbrace$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/0/f/90fb4bb9fa5679a2b74caf3037f9010382.png)
![$-\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)\arcsin\frac{-2Rm-2(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2}{\parallel m \parallel(4R^2+4(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2)^\frac{1}{2}}-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2} \ln m$ \ (1) $-\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)\arcsin\frac{-2Rm-2(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2}{\parallel m \parallel(4R^2+4(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2)^\frac{1}{2}}-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2} \ln m$ \ (1)](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/8/2/2827459a7fd7b24324ca61c2d33f6e9782.png)
![$m=(R+\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2})$ $m=(R+\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2})$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/2/4428d6a050fba2d90d1e2df38088881182.png)
Преобразуем в переменную
![$t$ $t$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/4/4f4f4e395762a3af4575de74c019ebb582.png)
выражение под корнем:
![$\left\lbrace R+\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2}\right\rbrace^2-2R\left\lbrace R+\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2}\right\rbrace+\sqrt{2}R_{0}R-\frac{R_{0}^2}{2}-R^2$ $\left\lbrace R+\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2}\right\rbrace^2-2R\left\lbrace R+\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2}\right\rbrace+\sqrt{2}R_{0}R-\frac{R_{0}^2}{2}-R^2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/4/d/24db61a5ea469c7610b92f01847be50482.png)
![$=R^2+2R\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2}+2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2-2R^2-2R\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2}+\sqrt{2}R_{0}-\frac{R_{0}^2}{2}-R^2=2t^2$ $=R^2+2R\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2}+2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2-2R^2-2R\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2}+\sqrt{2}R_{0}-\frac{R_{0}^2}{2}-R^2=2t^2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/7/6/b76de223f42be1f649ba9eae4a1b2a8982.png)
Подставим в выражение (1) получим :
![$\frac{1}{\sqrt{2}}\left\lbrace \sqrt{2}t -R\ln\parallel 2\sqrt{2} t +2\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}}{2}+2R^2}\parallel \right\rbrace$ $\frac{1}{\sqrt{2}}\left\lbrace \sqrt{2}t -R\ln\parallel 2\sqrt{2} t +2\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}}{2}+2R^2}\parallel \right\rbrace$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/2/b827316c7b93536b0964660f609fb5e982.png)
![$-\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)\arcsin\frac{-2R(R+\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2})-2(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2}{\parallel R+\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2}\parallel (4R^2+4(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2)^\frac{1}{2}}$ $-\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)\arcsin\frac{-2R(R+\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2})-2(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2}{\parallel R+\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2}\parallel (4R^2+4(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2)^\frac{1}{2}}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/b/f3be45aabdcd3f404dfe4ca3a8462d9282.png)
![$-\frac{R_{0}-\sqrt{2}}{2}\ln(R+\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2}) \ (2)$$ $-\frac{R_{0}-\sqrt{2}}{2}\ln(R+\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2}) \ (2)$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/3/3/833c10610caa4fc49cf3e365ec7c84ab82.png)
В выражении (2) преобразуем в Х подкоренные выражения:так как
![$t=x+\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2} \ (3)$ $t=x+\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2} \ (3)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/9/2/d92f51b0fb6c5c031c7fa16e0171ec9e82.png)
![$\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2}=\sqrt{2(x+\frac{R_{0}-\sqrt{2}}{2})^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2}=\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)+\frac{(R_{0}-\sqrt{2}R)^2}{2}-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2}$ $\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2}=\sqrt{2(x+\frac{R_{0}-\sqrt{2}}{2})^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2}=\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)+\frac{(R_{0}-\sqrt{2}R)^2}{2}-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/0/1/50182132626ca05ec9319fc56f7c8d3a82.png)
![$=\sqrt{2x^2=2x(R_{0}-\sqrt{2}R)+\frac{R_{0}^2}{2}-\sqrt{2}R_{0}R+R^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2}$ $=\sqrt{2x^2=2x(R_{0}-\sqrt{2}R)+\frac{R_{0}^2}{2}-\sqrt{2}R_{0}R+R^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/f/f5f2e6c0b2cae64f2dcecdb97837d9e582.png)
![$=\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2} \ (4)$ $=\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2} \ (4)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/8/6e8bd996871f82cca8dc7690909505e982.png)
Подставим (3),(4) в выражение (2):
![$\frac{1}{\sqrt{2}}\left\lbrace \sqrt{2}(x+\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2})-R\ln\parallel 2\sqrt{2}(x+\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2})+2\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2}\parallel \right\rbrace$ $\frac{1}{\sqrt{2}}\left\lbrace \sqrt{2}(x+\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2})-R\ln\parallel 2\sqrt{2}(x+\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2})+2\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2}\parallel \right\rbrace$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/7/9b7353cc55edbefb5173fb6d004fc07c82.png)
![$$-\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)\arcsin\frac{-2R(R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})-2(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2}{\parallel R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2}\parallel (4R^2+4(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2)^\frac{1}{2}}$$ $$-\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)\arcsin\frac{-2R(R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})-2(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2}{\parallel R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2}\parallel (4R^2+4(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2)^\frac{1}{2}}$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/e/e8e7a1a2e9078832ccf450158277a0e182.png)
![$-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}\ln(R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})$ $-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}\ln(R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/7/a/b7a6c53591e7a55188a896bc77cd125882.png)
При очень больших
![$R_{0}$ $R_{0}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/e/7/1e7fcf6ac6efde96b00f244a4c962bd582.png)
модули выражений можно опустить в результате окончательное выражение для
![$I_{11}$ $I_{11}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/8/2/682bb8b01fb08bd67ff72d6107b0e61182.png)
будет иметь вид:
![$I_{11}=x\ln(R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})-x-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}+\frac{R}{\sqrt{2}}\ln\left\lbrace 2\sqrt{2}x+\sqrt{2}(R_{0}-\sqrt{2}R)+2\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2}\right\rbrace$ $I_{11}=x\ln(R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})-x-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}+\frac{R}{\sqrt{2}}\ln\left\lbrace 2\sqrt{2}x+\sqrt{2}(R_{0}-\sqrt{2}R)+2\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2}\right\rbrace$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/0/0/b00655cdc6b39cee7cd105b2b3b2efb482.png)
![$$+\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)\arcsin\frac{-2R(R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})-2(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2}{(R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})(4R^2+4(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2)^\frac{1}{2}}$$ $$+\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)\arcsin\frac{-2R(R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})-2(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2}{(R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})(4R^2+4(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2)^\frac{1}{2}}$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/b/0/3b011e685f8665ec002ee2713858409c82.png)
![$+\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}\ln(R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})$ $+\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}\ln(R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/4/3e4cb1386629ea1ad392df4ceecee00b82.png)
Найдем интеграл
![$I_{12}$ $I_{12}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/b/62bcb59172aa971edeea5e55af8284e882.png)
![$I_{12}=\int\limits_{0}^{\sqrt{2}R}\ln (\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2)}dx$ $I_{12}=\int\limits_{0}^{\sqrt{2}R}\ln (\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2)}dx$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/3/f3361b8afdce6b2650e99ceb6c64472a82.png)
Берем по частям:
![$u=\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2}$ $u=\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/d/96d2ac50c01157701d1a20bcb4893eb382.png)
![$$du=\frac{0.5 \ (4x+2(R_{0}-\sqrt{2}R))dx}{\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2}\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2}} \ $$ $$du=\frac{0.5 \ (4x+2(R_{0}-\sqrt{2}R))dx}{\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2}\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2}} \ $$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/7/8/d78418c94b82f05c2f47aa4f51a62c4f82.png)
![$$I_{12}=x\ln\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2}-\int\limits_{}^{}\frac{0.5 \ x(4x+2(R_{0}-\sqrt{2}R))dx}{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)+(R_{0}-\sqrt{2}R)^2}$$ $$I_{12}=x\ln\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2}-\int\limits_{}^{}\frac{0.5 \ x(4x+2(R_{0}-\sqrt{2}R))dx}{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)+(R_{0}-\sqrt{2}R)^2}$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/e/84e278470a1a041b4d29883f96c045f082.png)
Интеграл равен:-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
![$$\int\limits_{}^{}\frac{2x^2 dx}{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)+(R_{0}-\sqrt{2}R)^2}+(R_{0}-\sqrt{2}R)\int\limits_{}^{}\frac{xdx}{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)+(R_{0}-\sqrt{2}R)^2} \ (1)$$ $$\int\limits_{}^{}\frac{2x^2 dx}{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)+(R_{0}-\sqrt{2}R)^2}+(R_{0}-\sqrt{2}R)\int\limits_{}^{}\frac{xdx}{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)+(R_{0}-\sqrt{2}R)^2} \ (1)$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/0/e707facd5ff3a1ca5e64e991ead8311682.png)
Это табличные интегралы Двайт 160.21 и 160.11 \
![$a=2, \ b=2(R_{0}-\sqrt{2}R) ,\ c=(R_{0}-\sqrt{2}R)^2$ $a=2, \ b=2(R_{0}-\sqrt{2}R) ,\ c=(R_{0}-\sqrt{2}R)^2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/a/6/7a674f76d931075c4423be278b5b96b882.png)
![$$\int\limits_{}^{}\frac{x^2dx}{ax^2+bx+c}=\frac{x}{a}-\frac{b}{2a^2}\ln\parallel ax^2+bx+c\parallel +\frac{b^2-2ac}{2a^2}\int\limits_{}^{}\frac{dx}{ax^2+bx+c}$$ $$\int\limits_{}^{}\frac{x^2dx}{ax^2+bx+c}=\frac{x}{a}-\frac{b}{2a^2}\ln\parallel ax^2+bx+c\parallel +\frac{b^2-2ac}{2a^2}\int\limits_{}^{}\frac{dx}{ax^2+bx+c}$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/5/4/c541886285e109f5ba30a7ff3c028b4b82.png)
![$$\int\limits_{}^{}\frac{dx}{ax^2+bx+c}=\frac{2}{\sqrt{4ac-b^2}}\arctg\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}$$ $$\int\limits_{}^{}\frac{dx}{ax^2+bx+c}=\frac{2}{\sqrt{4ac-b^2}}\arctg\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/0/2/f0256c30785614bc91cc6f4d3b3423df82.png)
![$$\int\limits_{}^{}\frac{xdx}{ax^2+bx+c}=\frac{1}{2a}\ln\parallel ax^2+bx+c\parallel -\frac{b}{2a}\int\limits_{}^{}\frac{dx}{ax^2+bx+c}$$ $$\int\limits_{}^{}\frac{xdx}{ax^2+bx+c}=\frac{1}{2a}\ln\parallel ax^2+bx+c\parallel -\frac{b}{2a}\int\limits_{}^{}\frac{dx}{ax^2+bx+c}$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/f/d6f01d79b703b535cdb9c77b32b7898e82.png)
тогда интегральные выражения(1) будут иметь вид:------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
![$$-\frac{2(R_{0}-\sqrt{2}R)}{2 \ 2 }\frac{2}{\sqrt{4 \ 2 (R_{0}-\sqrt{2}R)^2-4(R_{0}-\sqrt{2}R)^2}}\arctg\frac{4x+2(R_{0}-\sqrt{2}R)}{2 (R_{0}-\sqrt{2}R)}
\right\rbrace $$ $$-\frac{2(R_{0}-\sqrt{2}R)}{2 \ 2 }\frac{2}{\sqrt{4 \ 2 (R_{0}-\sqrt{2}R)^2-4(R_{0}-\sqrt{2}R)^2}}\arctg\frac{4x+2(R_{0}-\sqrt{2}R)}{2 (R_{0}-\sqrt{2}R)}
\right\rbrace $$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/e/80e50d4ca627cd91ffeb5b3ba3839e1182.png)
это равно:--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
это равно:----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
![$$=x-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}\ln\left\lbrace 2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)+(R_{0}-\sqrt{2}R)^2\right\rbrace $$ $$=x-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}\ln\left\lbrace 2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)+(R_{0}-\sqrt{2}R)^2\right\rbrace $$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/1/8/11867bd937326046ab180217b916cf2782.png)
![$$+\frac{R_{0}-\sqrt{2}}{4}\ln\left\lbrace 2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)+(R_{0}-\sqrt{2}R)^2 \right\rbrace $$ $$+\frac{R_{0}-\sqrt{2}}{4}\ln\left\lbrace 2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)+(R_{0}-\sqrt{2}R)^2 \right\rbrace $$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/c/6/0c63f09a8cb059caed35f4196e893d4d82.png)
![$$-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}\arctg\frac{2x+(R_{0}-\sqrt{2}R)}{R_{0}-\sqrt{2}R}$$ $$-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}\arctg\frac{2x+(R_{0}-\sqrt{2}R)}{R_{0}-\sqrt{2}R}$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/7/0d7a274432116394680e3c7d817dae9782.png)
Запишем полностью
![$I_{12}$ $I_{12}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/b/62bcb59172aa971edeea5e55af8284e882.png)
:-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
![$$I_{12}=x\ln\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2}$$ $$I_{12}=x\ln\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2}$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/7/d/d7d0e24e36e1188943c3cf2e3a43510782.png)
![$$-x+\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}\ln\left\lbrace 2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)+(R_{0}-\sqrt{2}R)^2 \right\rbrace $$ $$-x+\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}\ln\left\lbrace 2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)+(R_{0}-\sqrt{2}R)^2 \right\rbrace $$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/9/779ce3da72cebf4ef8b3a2ae88544b5082.png)
![$$-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{4}\ln \left\lbrace 2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)+(R_{0}-\sqrt{2}R)^2 \right\rbrace $$ $$-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{4}\ln \left\lbrace 2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)+(R_{0}-\sqrt{2}R)^2 \right\rbrace $$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/e/8/ce8c33aceff11ecd74ce0b987042976482.png)
![$$+\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}\arctg \frac{2x+(R_{0}-\sqrt{2}R)}{R_{0}-\sqrt{2}R} $$ $$+\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}\arctg \frac{2x+(R_{0}-\sqrt{2}R)}{R_{0}-\sqrt{2}R} $$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/d/65d3874ef11910ab24be60c8b08a103782.png)
Продолжение в следующем сообщении....