\\\Уважаемые эксперты.
Получил выражение для гравиполя куба вдоль линии соединяющей центр масс куба и проходящей через середину ребра, для оценки этого выражения на бесконечном удалении.
Выражение получилось достаточно емкое и при численной проверке получается противоречие: видимо где-то присутствует ошибка. Много раз проверял и "патологически" не могу ее найти.
Ниже я подробно изложу материал, для того чтобы если кто-то будет помогать, просто пробежал "свежим" взглядом по выкладкам и обнаружил ошибку.
Так как объем аналитики содержит более 20 тыс. знаков, то материал придется излагать фрагментарно.
Заранее благодарен.
Куб, с ребром

, равномерной плотности

, расположен в системе координат так, что центр масс куба совпадает с началом координат, ось

проходит через середину ребра, диагональная плоскость куба совпадает с плоскостью

.

контрольная точка на оси

. Гравиполе будем находить вдоль оси

за пределами пространства куба.
В данных условиях поле куба, без гравитационной постоянной будет иметь выражение:
Производная по z от выражения:
суть подынтегральное выражение. Следовательно интеграл по z, будет иметь вид:
это равно:
это равно:
Интегрируем по у эти два слагаемые(согласно Двайт 200.01

где:

для первого слагаемого и

для второго слагаемого.)
получим:
Подставим пределы интегрирования :

, получим:


Остается интегрирование по переменной х. Так как при больших значениях

выражение под логарифмом больше нуля, то модули можно заменить на круглые скобки.
Введем обозначения
В таких обозначениях выражение поля будет иметь вид:
Найдем интеграл

Берем по частям:


Для интегрирования перейдем к другим координатам:
Подставим в интегральное выражение:

В числителе:


В знаменателе под корнем:



Искомый интеграл в новых переменных будет иметь вид:


Введем новую переменную:

В новой переменной искомый интеграл будет иметь вид:
Это табличные интегралы: (Двайт 380.311)
Второе и третье слагаемые также табличные интегралы (Двайт380.001,380.111)
В результате получим интеграл по переменной

:

Продолжим:результатом интегрирования по

стало выражение:



Преобразуем в переменную

выражение под корнем:


Подставим в выражение (1) получим :



В выражении (2) преобразуем в Х подкоренные выражения:так как




Подставим (3),(4) в выражение (2):



При очень больших

модули выражений можно опустить в результате окончательное выражение для

будет иметь вид:



Найдем интеграл


Берем по частям:



Интеграл равен:-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Это табличные интегралы Двайт 160.21 и 160.11 \




тогда интегральные выражения(1) будут иметь вид:------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

это равно:--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
это равно:----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



Запишем полностью

:-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------




Продолжение в следующем сообщении....