гравитационное поле куба вдоль диагонали

[mihail2102]

\\\Уважаемые эксперты.
Получил выражение для гравиполя куба вдоль линии соединяющей центр масс куба и проходящей через середину ребра, для оценки этого выражения на бесконечном удалении.
Выражение получилось достаточно емкое и при численной проверке получается противоречие: видимо где-то присутствует ошибка. Много раз проверял и "патологически" не могу ее найти.
Ниже я подробно изложу материал, для того чтобы если кто-то будет помогать, просто пробежал "свежим" взглядом по выкладкам и обнаружил ошибку.
Так как объем аналитики содержит более 20 тыс. знаков, то материал придется излагать фрагментарно.
Заранее благодарен.
Куб, с ребром$2R$, равномерной плотности $\rho_{k}$, расположен в системе координат так, что центр масс куба совпадает с началом координат, ось $Z$ проходит через середину ребра, диагональная плоскость куба совпадает с плоскостью$YOZ$. $R_{0}$ контрольная точка на оси $OZ$. Гравиполе будем находить вдоль оси $OZ$ за пределами пространства куба.
В данных условиях поле куба, без гравитационной постоянной будет иметь выражение:

$H= 4 \rho_{k} \int\limits_{0}^{\sqrt{2}R} dx \int\limits_{0}^{R} dy \int\limits_{x-\sqrt{2}R}^{-x+\sqrt{2}R}\frac{(R_{0}-z) dz}{(x^2+y^2+(R_{0}-z)^2)^\frac{3}{2}}$

Производная по z от выражения:

$(x^2+y^2+(R_{0}-z)^2)^\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}\frac{2 (R_{0}-z) (-1) dz}{(x^2+y^2+(R_{0}-z)^2)^\frac{3}{2}}$

суть подынтегральное выражение. Следовательно интеграл по z, будет иметь вид:

$\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+(R_{0}-(-x+\sqrt{2}R))^2}}-\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+(R_{0}-(x-\sqrt{2}R))^2}}$

$\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+R_{0}^2-2R_{0} (-x+\sqrt{2}R)+x^2-2x\sqrt{2} R+2 R^2}}-\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+R_{0}^2-2R_{0} (x-\sqrt{2}R)+x^2-2x\sqrt{2}R+2R^2}}$

это равно:

$\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+R_{0}^2+2R_{0}x-2R_{0}\sqrt{2}R+x^2-2x\sqrt{2}R+2R^2}}-\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+R_{0}^2-2R_{0}x+2R_{0}\sqrt{2}R+x^2-2x\sqrt{2}R+2R^2}}$

это равно:

$\frac{1}{\sqrt{2x^2+R_{0}^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+2R^2+y^2}}-\frac{1}{\sqrt{2x^2+R_{0}^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+2R^2+y^2}}$

Интегрируем по у эти два слагаемые(согласно Двайт 200.01 $\int\limits_{}^{}\frac{dy}{\sqrt{a^2+y^2}}=\ln\parallel y+\sqrt{a^2+y^2}\parallel$где:$a^2=2x^2+R_{0}^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+2R^2$ для первого слагаемого и$ a^2=2x^2+R_{0}^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+2R^2$ для второго слагаемого.)
получим:

$\ln\parallel y+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)+R_{0}^2-2\sqrt{2}R_{0}R+2R^2+y^2}\parallel $ $ -\ln\parallel y+\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2 +y^2}\parallel $

Подставим пределы интегрирования : $y=R, y=0$, получим:

$\ln\parallel R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2+R^2}\parallel $ $-\ln\parallel \sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2}\parallel $

$-\left\lbrace\ln\parallel R+\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2+R^2}\parallel $$ -\ln\parallel \sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2}\parallel \right\rbrace $
Остается интегрирование по переменной х. Так как при больших значениях $R_{0}$ выражение под логарифмом больше нуля, то модули можно заменить на круглые скобки.
Введем обозначения

$I_{11}=\int\limits_{0}^{\sqrt{2}R}\ln(R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})dx$

$I_{12}=\int\limits_{0}^{\sqrt{2}R}\ln(\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2})dx$

$I_{21}=\int\limits_{0}^{\sqrt{2}R}\ln(R+\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2}) dx$

$I_{22}=\int\limits_{0}^{\sqrt{2}R}\ln(\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2})dx$

В таких обозначениях выражение поля будет иметь вид:

$H=4\rho_{k}(I_{11}-I_{12}-I_{21}+I_{22})$

Найдем интеграл $I_{11}$

$I_{11}=\int\limits_{0}^{\sqrt{2}R}\ln(R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})dx $

Берем по частям: $u=\ln(R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})$

$$du=\frac{1}{(R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})}\frac{0,5(4x+2(R_{0}-\sqrt{2}R))dx}{\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2}}$$

$dv=dx$ $ v=x$

$I_{11}= x \ln(R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})$

$-\int\limits_{}^{}\frac{0,5(4x+2(R_{0}-\sqrt{2}R))x dx}{(R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2)\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2}}}$

Для интегрирования перейдем к другим координатам:

$x=t-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}$

Подставим в интегральное выражение:

$$\int\limits_{}^{}\frac{0,5(4(t-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2})+2(R_{0}-\sqrt{2}R))(t-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2})dt}{\left\lbrace R+\sqrt{2(t-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2})^2+2(t-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2})(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2}\right\rbrace K}$$

$K=\sqrt{2(t-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2})^2+2(t-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2})(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2}$

В числителе:

$$\left\lbrace4(t-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2})+2(R_{0}-\sqrt{2}R)\right\rbrace(t-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2})=4(t-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2})^2+2t(R_{0}-\sqrt{2}R)-(R_{0}-\sqrt{2}R)^2$$

$$= 4t^2-4t(R_{0}-\sqrt{2}R)+(R_{0}-\sqrt{2}R)^2+2t(R_{0}-\sqrt{2}R)-(R_{0}-\sqrt{2}R)^2=4t^2-2t(R_{0}-\sqrt{2}R)$$

В знаменателе под корнем:

$$2\left\lbrace t^2-t(R_{0}-\sqrt{2}R)+\frac{(R_{0}-\sqrt{2}R)^2}{4}\right\rbrace+2t(R_{0}-\sqrt{2}R)-(R_{0}-\sqrt{2}R)^2-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2$$

$$=2t^2-2t(R_{0}-\sqrt{2}R)+\frac{(R_{0}-\sqrt{2}R)^2}{2}+2t(R_{0}-\sqrt{2}R)-(R_{0}-\sqrt{2}R)^2-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2$$

$$=2t^2-\frac{(R_{0}-\sqrt{2}R)^2}{2}-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2=2t^2-\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R-R^2-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2$$

$=2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2$

Искомый интеграл в новых переменных будет иметь вид:

$$\int\limits_{}^{}\frac{0,5\left\lbrace4t^2-2t(R_{0}-\sqrt{2}R)\right\rbrace dt}{(R+\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2})(\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2})}$$

$$=\int\limits_{}^{}\frac{0,5\ 4t^2 dt}{(R+\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2}) (\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2})}$$-(R_{0}-\sqrt{2}R)\int\limits_{}^{}\frac{0,5\ 2t dt}{(R+\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2})(\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2})}$$
Введем новую переменную:

$$m=(R+\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2})=m^2-2Rm+R^2=2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2$$

$t=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{m^2-2Rm+\sqrt{2}R_{0}R-\frac{R_{0}^2}{2}-R^2}$

$dm=\frac{0,5 \ 4t dt}{\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2}}$

В новой переменной искомый интеграл будет иметь вид:

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\int\limits_{}^{}\frac{\sqrt{m^2-2Rm+\sqrt{2}R_{0}R-\frac{R_{0}^2}{2}-R^2}}{m}dm-\frac{(R_{0}-\sqrt{2}R)}{2}\int\limits_{}^{}\frac{dm}{m}$$

Это табличные интегралы: (Двайт 380.311)

$$\int\limits_{}^{}\frac{\sqrt{am^2+bm+c}}{m}dm=\sqrt{am^2+bm+c}+ \frac{b}{2}\int\limits_{}^{}\frac{dm}{\sqrt{am^2+bm+c}}+c\int\limits_{}^{}\frac{dm}{m \sqrt{am^2+bm+c}}$$

$a=1 \ $

$b=-2R \ $

$c=-(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2$

Второе и третье слагаемые также табличные интегралы (Двайт380.001,380.111)

$$\int\limits_{}^{}\frac{dm}{\sqrt{am^2+bm+c}}=\frac{1}{a^\frac{1}{2}}\ln\parallel 2\sqrt{a(am^2+bm+c)}+2am+b\parallel$$

$$\int\limits_{}^{}\frac{dm}{m \sqrt{am^2+bm+c}}=\frac{1}{(-c)^\frac{1}{2}}\arcsin\frac{bm+2c}{\parallel m \parallel (b^2-4ac)^\frac{1}{2}}$$

В результате получим интеграл по переменной $ m $ :
$\frac{1}{\sqrt{2}}\left\lbrace\sqrt{m^2-2Rm+\sqrt{2}R_{0}R-\frac{R_{0}^2}{2}-R^2}-R\ln\parallel 2\sqrt{m^2-2Rm+\sqrt{2}R_{0}R-\frac{R_{0}^2}{2}-R^2}+2m-2R\parallel \right\rbrace -\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)\arcsin\frac{-2Rm-2(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2}{\parallel m \parallel (4R^2+4(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2)^\frac{1}{2}}-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}\ln m $
Продолжим:результатом интегрирования по $m$стало выражение:
$\frac{1}{\sqrt{2}}\left\lbrace \sqrt{m^2-2Rm+\sqrt{2}R_{0}R-\frac{R_{0}^2}{2}-R^2}-R \ln \parallel 2\sqrt{m^2-2Rm+\sqrt{2}R_{0}R-\frac{R_{0}^2}{2}-R^2}+2m-2R\parallel \right\rbrace$
$-\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)\arcsin\frac{-2Rm-2(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2}{\parallel m \parallel(4R^2+4(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2)^\frac{1}{2}}-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2} \ln m$ \ (1)
$m=(R+\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2})$
Преобразуем в переменную $t$ выражение под корнем:
$\left\lbrace R+\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2}\right\rbrace^2-2R\left\lbrace R+\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2}\right\rbrace+\sqrt{2}R_{0}R-\frac{R_{0}^2}{2}-R^2$
$=R^2+2R\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2}+2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2-2R^2-2R\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2}+\sqrt{2}R_{0}-\frac{R_{0}^2}{2}-R^2=2t^2$
Подставим в выражение (1) получим :
$\frac{1}{\sqrt{2}}\left\lbrace \sqrt{2}t -R\ln\parallel 2\sqrt{2} t +2\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}}{2}+2R^2}\parallel \right\rbrace$
$-\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)\arcsin\frac{-2R(R+\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2})-2(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2}{\parallel R+\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2}\parallel (4R^2+4(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2)^\frac{1}{2}}$$-\frac{R_{0}-\sqrt{2}}{2}\ln(R+\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2}) \ (2)$$
В выражении (2) преобразуем в Х подкоренные выражения:так как $t=x+\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2} \ (3)$
$\sqrt{2t^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2}=\sqrt{2(x+\frac{R_{0}-\sqrt{2}}{2})^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2}=\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)+\frac{(R_{0}-\sqrt{2}R)^2}{2}-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2}$
$=\sqrt{2x^2=2x(R_{0}-\sqrt{2}R)+\frac{R_{0}^2}{2}-\sqrt{2}R_{0}R+R^2-\sqrt{2}R_{0}R+\frac{R_{0}^2}{2}+2R^2}$
$=\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2} \ (4)$
Подставим (3),(4) в выражение (2):
$\frac{1}{\sqrt{2}}\left\lbrace \sqrt{2}(x+\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2})-R\ln\parallel 2\sqrt{2}(x+\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2})+2\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2}\parallel \right\rbrace$

$$-\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)\arcsin\frac{-2R(R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})-2(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2}{\parallel R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2}\parallel (4R^2+4(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2)^\frac{1}{2}}$$

$-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}\ln(R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})$
При очень больших $R_{0}$ модули выражений можно опустить в результате окончательное выражение для $I_{11}$ будет иметь вид:
$I_{11}=x\ln(R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})-x-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}+\frac{R}{\sqrt{2}}\ln\left\lbrace 2\sqrt{2}x+\sqrt{2}(R_{0}-\sqrt{2}R)+2\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2}\right\rbrace$

$$+\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)\arcsin\frac{-2R(R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})-2(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2}{(R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})(4R^2+4(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2)^\frac{1}{2}}$$

$+\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}\ln(R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})$
Найдем интеграл $I_{12}$
$I_{12}=\int\limits_{0}^{\sqrt{2}R}\ln (\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2)}dx$
Берем по частям:$u=\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2}$

$dv=dx$

$$du=\frac{0.5 \ (4x+2(R_{0}-\sqrt{2}R))dx}{\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2}\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2}} \ $$

$ \ v=x$

$$I_{12}=x\ln\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2}-\int\limits_{}^{}\frac{0.5 \ x(4x+2(R_{0}-\sqrt{2}R))dx}{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)+(R_{0}-\sqrt{2}R)^2}$$

Интеграл равен:-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

$$\int\limits_{}^{}\frac{2x^2 dx}{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)+(R_{0}-\sqrt{2}R)^2}+(R_{0}-\sqrt{2}R)\int\limits_{}^{}\frac{xdx}{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)+(R_{0}-\sqrt{2}R)^2} \ (1)$$

Это табличные интегралы Двайт 160.21 и 160.11 \ $a=2, \ b=2(R_{0}-\sqrt{2}R) ,\ c=(R_{0}-\sqrt{2}R)^2$

$$\int\limits_{}^{}\frac{x^2dx}{ax^2+bx+c}=\frac{x}{a}-\frac{b}{2a^2}\ln\parallel ax^2+bx+c\parallel +\frac{b^2-2ac}{2a^2}\int\limits_{}^{}\frac{dx}{ax^2+bx+c}$$

$$\int\limits_{}^{}\frac{dx}{ax^2+bx+c}=\frac{2}{\sqrt{4ac-b^2}}\arctg\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}$$

$$\int\limits_{}^{}\frac{xdx}{ax^2+bx+c}=\frac{1}{2a}\ln\parallel ax^2+bx+c\parallel -\frac{b}{2a}\int\limits_{}^{}\frac{dx}{ax^2+bx+c}$$

тогда интегральные выражения(1) будут иметь вид:------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

$$2\left\lbrace\frac{x}{2}-\frac{2(R_{0}-\sqrt{2}R)}{2 \ 2 \ 2}\ln\left\lbrace 2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)+(R_{0}-\sqrt{2}R)^2\right\rbrace + 0 \right\rbrace $$

$$+(R_{0}-\sqrt{2}R)\left\lbrace \frac{1}{2 \ 2}\ln(2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)+(R_{0}-\sqrt{2}R)^2) $$

$$-\frac{2(R_{0}-\sqrt{2}R)}{2 \ 2 }\frac{2}{\sqrt{4 \ 2 (R_{0}-\sqrt{2}R)^2-4(R_{0}-\sqrt{2}R)^2}}\arctg\frac{4x+2(R_{0}-\sqrt{2}R)}{2 (R_{0}-\sqrt{2}R)} \right\rbrace $$

это равно:--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

$$=x-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R }{2}\ln \left\lbrace 2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)+(R_{0}-\sqrt{2}R)^2 \right\rbrace $$

$$+\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{4}\ln\left\lbrace 2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)+(R_{0}-\sqrt{2}R)^2\right\rbrace $$

$$-(R_{0}-\sqrt{2}R)\frac{2(R_{0}-\sqrt{2}R)}{2 \ 2 }\frac{2}{2(R_{0}-\sqrt{2}R)}\arctg\frac{2x+(R_{0}-\sqrt{2}R)}{R_{0}-\sqrt{2}R}$$

это равно:----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

$$=x-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}\ln\left\lbrace 2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)+(R_{0}-\sqrt{2}R)^2\right\rbrace $$

$$+\frac{R_{0}-\sqrt{2}}{4}\ln\left\lbrace 2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)+(R_{0}-\sqrt{2}R)^2 \right\rbrace $$

$$-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}\arctg\frac{2x+(R_{0}-\sqrt{2}R)}{R_{0}-\sqrt{2}R}$$

Запишем полностью $I_{12}$ :-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

$$I_{12}=x\ln\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2}$$

$$-x+\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}\ln\left\lbrace 2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)+(R_{0}-\sqrt{2}R)^2 \right\rbrace $$

$$-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{4}\ln \left\lbrace 2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)+(R_{0}-\sqrt{2}R)^2 \right\rbrace $$

$$+\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}\arctg \frac{2x+(R_{0}-\sqrt{2}R)}{R_{0}-\sqrt{2}R} $$

Продолжение в следующем сообщении....

[mihail2102]

Продолжение...
Найдем $I_{21}$:

$I_{21}=\int\limits_{0}^{\sqrt{2}R} \ln(R+\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2}) dx$

интегрируем по частям:
$I_{21}= x\ln(x+\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2}) $

$$-\int\limits_{}^{}\frac{0,5 \ (4x-2(R_{0}+\sqrt{2}R))x dx}{(R+\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R+R_{0}^2+3R^2})\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2}}$$

Вводим новую переменную:$x=t+\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2} \ $ второе интегральное слагаемое примет вид:

$$\int\limits_{}^{}\frac{0,5\left\lbrace \ 4(t+\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2})-2(R_{0}+\sqrt{2}R)\right\rbrace(t+\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2})dt}{\left\lbrace R+\sqrt{2(t+\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2})^2-2(t+\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2})(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2}\right\rbrace K}$$

$$K=\sqrt{2(t+\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2})^2-2(t+\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2})(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2}$$

$$\frac{0,5 (4(t^2+t(R_{0}+\sqrt{2}R)+\frac{(R_{0}+\sqrt{2}R)^2}{4})-2t(R_{0}+\sqrt{2}R)-(R_{0}+\sqrt{2}R)^2)dt}\left\lbrace{R+\sqrt{2t^2+2t(R_{0}+\sqrt{2}R)+\frac{(R_{0}+\sqrt{2}R)^2}{2}-2t(R_{0}+\sqrt{2}R)-R_{0}^2-2\sqrt{2}R_{0}R-2R^2+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2}\right\rbrace K}$$

$$\int\limits_{}^{}\frac{\left\lbrace 2(t^2+t(R_{0}+\sqrt{2}R)+\frac{(R_{0}+\sqrt{2}R)^2}{4})-t(R_{0}+\sqrt{2}R)-\frac{(R_{0}+\sqrt{2}R)^2}{2}\right\rbrace dt}{(R+\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2})\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2}}$$

$$\int\limits_{}^{}(\frac{2t^2+t(R_{0}+\sqrt{2}R))dt}{(R+\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2})\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2}}$$

$$=\int\limits_{}^{}\frac{0,5 \ 4t^2 dt}{(R+\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2})\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2}}$$

$$+(R_{0}+\sqrt{2}R)\int\limits_{}^{}\frac{0,5 \ 2tdt}{(R+\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2})\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2}} \ (1)$$

Введем новую переменную:

$$m=(R+\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2)}$$

$$(m-R)^2=2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2$$

$$m^2-2Rm+R^2=2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2 $$

$$2t^2=m^2-2Rm-\frac{R_{0}^2}{2}-\sqrt{2}R_{0}R-R^2 $$

$$t=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{m^2-2Rm-(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2}$$

$$dm=\frac{0,5 \ 4tdt}{\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2}}$$

Подставим в выражение (1) получим:

$$\frac{1}{\sqrt{2} }\int\limits_{}^{}\frac{\sqrt{m^2-2Rm-(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2}dm}{m}+\frac{(R_{0}+\sqrt{2}R}{2})\int\limits_{}^{}\frac{dm}{m}$$

$$ a=1 \ b=-2R \ c=-(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2$$

это табличные интегралы:(Двайт 380.311, 380.001, 380.111

$$\int\limits_{}^{}\frac{\sqrt{am^2+bm+c}}{m}dm=\sqrt{am^2+bm+c}+\frac{b}{2}\int\limits_{}^{}\frac{dm}{\sqrt{am^2+bm+c}}+c\int\limits_{}^{}\frac{dm}{m \sqrt{am^2+bm+c}} $$

$$ \int\limits_{}^{}\frac{dm}{\sqrt{am^2+bm+c}}=\frac{1}{a^\frac{1}{2}}\ln\parallel 2\sqrt{(a(am^2+bm+c))}+2am+b \parallel $$

$$\int\limits_{}^{}\frac{dm}{m\sqrt{am^2+bm+c}}=\frac{1}{(-c)^\frac{1}{2}}\arcsin\frac{bm+2c}{\parallel m \parallel (b^2-4ac)^\frac{1}{2}}$$

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\left\lbrace \sqrt{m^2-2Rm-(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2}-R\ln \parallel 2 \sqrt{m^2-2Rm-(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2}+2m-2R\parallel \right\rbrace$$

$$-\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)\arcsin\frac{-2Rm-2(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2}{\parallel m \parallel (4R^2+4(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2)^\frac{1}{2}}+\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2}\ln m$$

Возвращаемся к переменной t, \ $m=(R+\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2})$
Продолжим:возвратимся к переменной $ t \ $

$$ \ m=R+\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2} \ $$

подставим в выражение:

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\left\lbrace \sqrt{m^2-2Rm-(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2}-R \ln \parallel 2\sqrt{m^2-2Rm-(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2}+2m-2R \parallel \right\rbrace $$

$$-\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R )\arcsin\frac{-2Rm-2(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2}{\parallel m \parallel (4R^2+4(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2)^\frac{1}{2}}+\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2}\ln(m)$$

$$=\frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{\left\lbrace R+\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2}\right\rbrace^2-2R\left\lbrace R+\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2}\right\rbrace-(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2} \\ $$

$$- \frac{R}{\sqrt{2}} \ln \parallel 2\sqrt{\left\lbrace R+\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2}\right\rbrace^2-2R\left\lbrace R+\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2}\right\rbrace-(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2} \\ $$

$$ +2\left\lbrace R+\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2}\right\rbrace -2R\parallel $$

$$- \frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)\arcsin \frac{-2R(R+\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2})-2(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2}{\parallel (R+\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2})\parallel (4R^2+4(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2)^\frac{1}{2}}$$

$$+ \frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2}\ln(R+\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2}) \ (2)$$

сделаем преобразования:
$\sqrt{\left\lbrace R+\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2}\right\rbrace^2-2R\left\lbrace R+\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2}\right\rbrace-(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2}$
$=\sqrt{R^2+2R\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2}+2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2 -2R^2-2R\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2}}$
$-\frac{R_{0}^2}{2}-\sqrt{2}R_{0}R-R^2$

$$=\sqrt{2t^2}=\sqrt{2}t$$

Таким образом выражение (2) будет иметь вид:
$\frac{1}{\sqrt{2}}\left\lbrace \sqrt{2}t-R\ln\parallel 2\sqrt{2}t+2\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2}\parallel \right\rbrace $

$$-\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)\arcsin\frac{-2R(R+\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2})-2(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2}{\parallel R+\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2}\parallel(4R^2+4(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2)^\frac{1}{2}} $$

$$+\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2}\ln(R+\sqrt{2t^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2})$$

Возвращаемся к переменной х:$t=x-\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2}$
$x-\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2}-\frac{R}{\sqrt{2}}\ln\parallel 2\sqrt{2}(x-\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2})+2\sqrt{2(x-\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2})^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2}\parallel $

$$-\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)\arcsin\frac{-2R(R+\sqrt{2(x-\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2})^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2})-2(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2}{\parallel R+\sqrt{2(x-\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2})^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2}\parallel (4R^2+4(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2)^\frac{1}{2}}$$

$+\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2}\ln(R+\sqrt{2(x-\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2})^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2})$
Вычислим отдельно:
$\sqrt{2(x-\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2})^2+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2}=$
$\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+\frac{(R_{0}+\sqrt{2}R)^2}{2}+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2}=$
$=\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+\frac{R_{0}^2}{2}+\sqrt{2}R_{0}R+2R^2}$
$=\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+R_{0}^2+2\sqrt{2}R_{0}R+3R^2}$
тогда искомый интеграл будет иметь вид:
$x-\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2}\frac{R}{\sqrt{2}\ln}\parallel 2\sqrt{2}(x-\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2})+2\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+R_{0}^2+2\sqrt{2}R_{0}R+3R^2}\parallel $

$$-\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)\arcsin\frac{-2R(R+\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+R_{0}^2+2\sqrt{2}R_{0}R+3R^2})-2(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2}{(R+\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+R_{0}^2+2\sqrt{2}R_{0}R+3R^2})(4R^2+4(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}})^2)^\frac{1}{2}}$$

$+\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2}\ln(R+\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+R_{0}^2+2\sqrt{2}R_{0}R+3R^2})$
Запишем неопределенный интеграл $ \ I_{21}$:
$I_{21}=x\ln(R+\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})$

$$-x+\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2}$$

$+\frac{R}{\sqrt{2}}\ln(2\sqrt{2}(x-\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2})+2\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+R_{0}^2+2\sqrt{2}R_{0}R+3R^2})$

$$+\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}})\arcsin\frac{-2R(R+\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+R_{0}^2+2\sqrt{2}R_{0}R+3R^2})-2(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2}{(R+\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+R_{0}^2+2\sqrt{2}R_{0}R+3R^2})(4R^2+4(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2)^\frac{1}{2}}$$

$-\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2}\ln(R+\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+R_{0}^2+2\sqrt{2}R_{0}R+3R^2})$
Найдем $I_{22}$:
$I_{22}=\int\limits_{}^{}\ln(\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2})dx$
Интегрируем по частям:
$=x\ln(\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2})$

$$-\int\limits_{}^{}\frac{0,5(4x-2(R_{0}+\sqrt{2}R))x dx}{\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}R+R_{0}^2+2R^2}\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2}}$$

Второе интегральное слагаемое равно:

$$\int\limits_{}^{}\frac{2x^2 dx}{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2}$$

$$-(R_{0}+\sqrt{2}R)\int\limits_{}^{}\frac{x dx}{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2}$$

Это табличные интегралы Двайт 160. 21 160.11 :

$$\int\limits_{}^{}\frac{x^2 dx}{ax^2+bx+c}=\frac{x}{a}-\frac{b}{2a^2}\ln\parallel ax^2+bx+c\parallel +\frac{b^2-2ac}{2a^2}\int\limits_{}^{}\frac{dx}{ax^2+bx+c}$$

$$\int\limits_{}^{}\frac{xdx}{ax^2+bx+c}=\frac{1}{2a}\ln\parallel ax^2+bx+c\parallel -\frac{b}{2a}\int\limits_{}^{}\frac{dx}{ax^2+bx+c}$

$$\int\limits_{}^{}\frac{dx}{ax^2+bx+c}=\frac{2}{\sqrt{4ac-b^2}}\arctg\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}$$

В этих условиях интегралы будут иметь вид:
$a=2 \ $
$b=-2(R_{0}+\sqrt{2}R) \ $
$c=(R_{0}+\sqrt{2}R)^2$

$$ 2\left\lbrace \frac{x}{2}-\frac{-2(R_{0}+\sqrt{2}R)}{ 2 \ \ 2 \ 2 }\ln(2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2)+0 \right\rbrace $$

$$-(R_{0}+\sqrt{2}R)\left\lbrace\frac{1}{4}\ln(2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2) $$

$$-\frac{-2(R_{0}+\sqrt{2}R)}{ \ 2 \ 2 }\frac{2}{\sqrt{8(R_{0}+\sqrt{2}R)^2-4(R_{0}+\sqrt{2}R)^2}}\arctg\frac{4x-2(R_{0}+\sqrt{2}R)}{2(R_{0}+\sqrt{2}R)}\right\rbrace $$

$$=x+\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2}\ln(2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}r)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2)$$

$$-\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{4}\ln(2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2)$$

$$-\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2}\arctg\frac{4x-2(R_{0}+\sqrt{2}R)}{2(R_{0}+\sqrt{2}R)}$$

Запишем $I_{22}$ полностью:

$$I_{22}= x\ln\sqrt{(2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R_{0}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2}$$

$$-x-\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2}\ln(2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2) $$

$$+\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{4}\ln(2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2)$$

$$+\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2}\arctg\frac{4x-2(R_{0}+\sqrt{2}R)}{2(R_{0}+\sqrt{2}R)}$$

Запишем общее выражение поля в виде суммы неопределенных интегралов:
$H(x)=I_{11}-I_{12}-I_{21}+I_{22}$

$$H= x\ln(R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})$$

$$-x-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}+\frac{R}{\sqrt{2}}\ln(2\sqrt{2}x+\sqrt{2}(R_{0}-\sqrt{2}R)+2\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})$$

$$+\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)\arcsin\frac{-2R(R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrtR_{0}R+R_{0}^2+3R^2})-2(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2}{(R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})(4R^2+4(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2)^\frac{1}{2}}$$

$$+\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}\ln(R+\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})$$

$$-x\ln\sqrt{2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2}$$

$$+x-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}\ln(2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)+(R_{0}-\sqrt{2}R)^2)$$

$$+\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{4}\ln(2x^2+2x(R_{0}-\sqrt{2}R)+(R_{0}-\sqrt{2}R)^2)$$

$$-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}\arctg\frac{2x+(R_{0}-\sqrt{2}R)}{R_{0}-\sqrt{2}R}$$

$$-x\ln(R+\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})$$

$$+x-\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2}-\frac{R}{\sqrt{2}}\ln(2\sqrt{2}x-\sqrt{2}(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+R_{0}^2+2\sqrt{2}R_{0}R+3R^2})$$

$$-\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)\arcsin\frac{-2R(R+\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+R_{0}^2+2\sqrt{2}R_{0}R+3R^2})-2(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2}{(R+\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+R_{0}^2+2\sqrt{2}R_{0}R+3R^2)}(4R^2+4(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2)^\frac{1}{2}}$$

$$+\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2}\ln(R+\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+R_{0}^2+2\sqrt{2}R_{0}R+3R^2})$$

$$x\ln\sqrt{2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2}$$

$$-x-\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2}\ln(2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+2R^2)$$

$$+\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{4}\ln(2x^2-2x(R_{0}+\sqrt{2}R)+2\sqrt{2}RT_{0}R+R_{0}^2+2R^2)$$

$$+\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2}\arctg\frac{2x-(R_{0}+\sqrt{2}R)}{R_{0}+\sqrt{2}R}$$

Слагаемые Х сокращаются, $ вычисляется $H(x=\sqrt{2}R)-H(x=0)$

Продолжим: Находим выражение $H(R,R_{0})=H(x=\sqrt{2}R)-H(x=0)$
Представлять выражение $H(R,R_{0})$ будем непосредственно по строкам результирующего выражения Н предыдущего сообщения.

$$H(R,R_{0})=\sqrt{2}R\ln(R+\sqrt{R_{0}^2+3R^2 })-0$$

$$\frac{R}{\sqrt{2}}\ln(\sqrt{2}R_{0}+2R+2\sqrt{R_{0}^2+3R^2})-\frac{R}{\sqrt{2}}\ln(\sqrt{2}R_{0}-2R+2\sqrt{-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})$$

$\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)\arcsin\frac{-2R(R+\sqrt{R_{0}^2+3R^2})-2(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2}{(R+\sqrt{R_{0}^2+3R^2})(4R^2+4(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2)^\frac{1}{2}}$$-\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)\arcsin\frac{-2R(R+\sqrt{-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})-2(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2}{(R+\sqrt{-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})(4R^2+4(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}-R)^2)^\frac{1}{2}}$

$$+\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}\ln(R+\sqrt{R_{0}^2+3R^2})-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}\ln(R+\sqrt{-2\sqrt{2}R_{0}R+R_{0}^2+3R^2})$$

$$-\sqrt{2}R\ln\sqrt{R_{0}^2+2R^2}+0$$

$$-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}\ln(R_{0}^2+2R^2)+\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}\ln((R_{0}-\sqrt{2}R)^2)$$

$$\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{4}\ln(R_{0}^2+2R^2)-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{4}\ln((R_{0}-\sqrt{2}R)^2)$$

$$-\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}\arctg\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{R_{0}-\sqrt{2}R}+\frac{R_{0}-\sqrt{2}R}{2}\arctg(1)$$

$$-\sqrt{2}R\ln(R+\sqrt{R_{0}^2+3R^2})+0$$

$$-\frac{R}{\sqrt{2}}\ln(-\sqrt{2}R_{0}+2R+2\sqrt{R_{0}^2+3R^2})+\frac{R}{\sqrt{2}}\ln(-\sqrt{2}R_{0}-2R+2\sqrt{R_{0}^2+2\sqrt{2}R_{0}R+3R^2})$
$-\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)\arcsin\frac{-2R(R+\sqrt{R_{0}^2+3R^2})-2(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2}{(R+\sqrt{R_{0}^2+3R^2})(4R^2+4(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2)^\frac{1}{2}}$$+\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)\arcsin\frac{-2R(R+\sqrt{R_{0}^2+2\sqrt{2}R_{0}R+3R^2})-2(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}+R)^2}}{(R+\sqrt{R_{0}^2+2\sqrt{2}R_{0}R+3R^2})(4R^2+4(\frac{R_{0}}{\sqrt{2}}+R)^2)^\frac{1}{2}}$

$$+\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2}\ln(R+\sqrt{R_{0}^2+3R^2})-\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2}\ln(R+\sqrt{R_{0}^2+2\sqrt{2}R_{0}R+3R^2})$$

$$+\sqrt{2}R\ln\sqrt{R_{0}^2+2R^2}-0$$

$$-\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2}\ln(R_{0}^2+2R^2)+\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2}\ln((R_{0}+\sqrt{2}R)^2)$$

$$+\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{4}\ln(R_{0}^2+2R^2)-\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{4}\ln((R_{0}+\sqrt{2}R)^2)$$

$$+\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2}\arctg\frac{-R_{0}+\sqrt{2}R}{R_{0}+\sqrt{2}R}-\frac{R_{0}+\sqrt{2}R}{2}\arctg(-1)$$

Продолжим: слагаемые с $\sqrt{2}$ у логарифма, сокращаются.
Введем обозначение $n=\frac{R_{0}}{R}$. Напряженность $H(n)$, будет иметь выражение:
$$H(n)=4\rho_{k}R\left\lbrace \frac{1}{\sqrt{2}}\ln\frac{\sqrt{2}n+2+2\sqrt{n^2+3}}{\sqrt{2}n-2+2\sqrt{-2\sqrt{2}n+n^2+3}}$
$\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{n}{\sqrt{2}}-1)\arcsin\frac{(-1)(1+\sqrt{n^2+3})-(\frac{n}{\sqrt{2}}-1)^2}{(1+\sqrt{n^2+3})(1+(\frac{n}{\sqrt{2}}-1)^2)^\frac{1}{2}}$ $-\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{n}{\sqrt{2}}-1)\arcsin\frac{(-1)(1+\sqrt{-2\sqrt{2}n+n^2+3})-(\frac{n}{\sqrt{2}}-1)^2}{(1+\sqrt{-2\sqrt{2}n+n^2+3})(1+(\frac{n}{\sqrt{2}}-1)^2)^\frac{1}{2}}$
$$+\frac{n-\sqrt{2}}{2}\ln\frac{1+\sqrt{n^2+3}}{1+\sqrt{-2\sqrt{2}n+n^2+3}}$
$$-\frac{n-\sqrt{2}}{4}\ln\frac{n^2+2}{(n-\sqrt{2})^2}$
$$-\frac{n-\sqrt{2}}{2}(\arctg\frac{n+\sqrt{2}}{n-\sqrt{2}}-\arctg(1))$
$$-\frac{1}{\sqrt{2}}\ln\frac{-\sqrt{2}n+2+2\sqrt{n^2+3}}{-\sqrt{2}n-2+2\sqrt{n^2+2\sqrt{2}n+3}}$
$-\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{n}{\sqrt{2}}+1)\arcsin\frac{(-1)(1+\sqrt{n^2+3})-(\frac{n}{\sqrt{2}}+1)^2}{(1+\sqrt{n^2+3})(1+(\frac{n}{\sqrt{2}}+1)^2)^\frac{1}{2}}$$+\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{n}{\sqrt{2}}+1)\arcsin\frac{(-1)(1+\sqrt{n^2+2\sqrt{2}n+3})-(\frac{n}{\sqrt{2}}+1)^2}{(1+\sqrt{n^2+2\sqrt{2}n+3})(1+(\frac{n}{\sqrt{2}}+1)^2)^\frac{1}{2}}$
$$+\frac{n+\sqrt{2}}{2}\ln\frac{1+\sqrt{n^2+3}}{1+\sqrt{n^2+2\sqrt{2}n+3}}$
$$-\frac{n+\sqrt{2}}{4}\ln\frac{n^2+2}{(n+\sqrt{2})^2}$
$$\frac{n+\sqrt{2}}{2}(\arctg\frac{-n+\sqrt{2}}{n+\sqrt{2}}-\arctg(-1)) \right\rbrace$
После $\arctg(-1)$ фигурная скобка закрывается. Выражение в фигурных скобках, при $n$ стремящимся к бесконечности равно 1.414.... То есть значение поля на бесконечности, суть величина конечная отличная от нуля. Но это ошибочный результат.