Производная преобразования координат

[gerkm]

Предположим, что дана система из $n$ частиц с координатами $\mathbf{r}_1,\dots,\mathbf{r}_n$ где $\mathbf{r}_i \in \mathbb{R}^3$. Теперь допустим, что есть некоторое обратимое линейное отображение $f_\alpha$, которое преобразует $\mathbf{r}_1,\dots,\mathbf{r}_n$ в новые координаты $\mathbf{r}_1^{\prime},\dots,\mathbf{r}_n^{\prime}$, где $\alpha \neq 0$ - вещественный параметр. Пример возможного отображения для $n=2$:

$$ \begin{cases} \mathbf{r}_{1}^{\prime}=f_{\alpha}\left(\mathbf{r}_{1}\right)=\alpha\mathbf{r}_{1}\\ \mathbf{r}_{2}^{\prime}=f_{\alpha}\left(\mathbf{r}_{2}\right)=\alpha\mathbf{r}_{2} \end{cases} $$

Вопрос: есть ли способ выразить частную производную $\partial_{\alpha}\left(f_{\alpha}^{-1}\right)$ с помощью координат, $\partial_\alpha f_\alpha$ и матрицы Якоби преобразования $f$? Попытки использовать цепное правило наивным образом не привели к успеху.

[пианист]

$f_\alpha$ матрица $3\times 3$ с элементами, зависящими от $\alpha$?
Если да, то пишем формулу обратной матрицы, и берем производные ее элементов по $\alpha$.
В чем проблема?

[gerkm]

пианист в сообщении #1595260 писал(а):

$f_\alpha$ матрица $3\times 3$ с элементами, зависящими от $\alpha$?

Нет. В общем случае $f_\alpha$ матрица $3N\times 3N$ с элементами зависящими от $\alpha$.

пианист в сообщении #1595260 писал(а):

Если да, то пишем формулу обратной матрицы, и берем производные ее элементов по $\alpha$.
В чем проблема?

Проблема в том, что я не хочу считать элементы обратной матрицы $f^{-1}_\alpha$. Я хочу найти способ записать $\partial_{\alpha}\left(f_{\alpha}^{-1}\right)$ как функцию от координат, $\partial_\alpha f_\alpha$ и матрицы Якоби преобразования $f_\alpha$.

[пианист]

gerkm в сообщении #1595269 писал(а):

$f_\alpha$ матрица $3N\times 3N$ с элементами зависящими от $\alpha$

А $f$ что такое?

[gerkm]

пианист в сообщении #1595271 писал(а):

А $f$ что такое?

То же самое, что и $f_\alpha$. Просто забыл дописать индекс.

[пианист]

Что-то типа такого $\partial_\alpha({f^{-1}}^l_{j}) = {f^{-1}}^l_i {\partial_\alpha}(f^i_{k}) {f^{-1}}^k_j $?
Если не проврался. Нумерация сквозная, $i, j, k, l$ пробегают от $1$ до $3n$, индекс $\alpha$ убрал, чтобы не путаться.

[svv]

пианист, там ещё минус.
Обозначим матрицу преобразования $f$ через $A$, обратную к ней $B$, производную по $\alpha$ штрихом.
$\begin{array}{l}AB=E\\A' B+A B'=0\\BA'B+B'=0\end{array}$

-- Чт май 25, 2023 13:12:34 --

gerkm в сообщении #1595255 писал(а):

есть ли способ выразить частную производную $\partial_{\alpha}\left(f_{\alpha}^{-1}\right)$ с помощью координат

Непонятно подчёркнутое. Линейное преобразование сводится к умножению вектора из $3N$ координат на матрицу, не зависящую от координат этого вектора. Т.е. матрица зависит только от $\alpha$.

[пианист]

svv
Да, точно, минус потерял.
Спасибо.

[svv]

svv в сообщении #1595287 писал(а):

Непонятно подчёркнутое.

Я понял. Чтобы не обращать матрицу, Вы хотите использовать известные для некоторого $f_\alpha$ векторы $\mathbf r_i$ и $\mathbf r'_i$. Боюсь, так не получится. Они дают слишком мало информации, всего лишь $6N$ чисел. А обратная матрица — это $9N^2$ чисел. При этом без неё так или иначе не обойтись: $\frac d{d\alpha}A$ и $A^{-1}$ совершенно независимы.