2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 какие из множеств
Сообщение09.05.2023, 17:15 


07/03/13
123
Условие:
Какие из множеств $\sqrt[n]{z}$ содержат хотя бы одно вещественное число?

---

Я не понимаю в чём вопрос. Необходимо, чтобы $ \operatorname{Im} \sqrt[n]{z} = \sin { \frac{\varphi+2 \pi k}{n} } = 0$, значит $ \frac{\varphi+2 \pi k}{n} = 2 \pi l $ или $ \frac{\varphi+2 \pi k}{n} = \pi + 2 \pi l $. Откуда мне непонятно нужно найти что? Помогите разобраться, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: какие из множеств
Сообщение09.05.2023, 18:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8762
Цюрих
Отсюда Вам нужно найти условие на $n$, чтобы получившееся уравнение имело хотя бы одно решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: какие из множеств
Сообщение09.05.2023, 19:38 


03/06/12
2770
Alexander__ в сообщении #1593189 писал(а):
$ \operatorname{Im} \sqrt[n]{z} = \sin { \frac{\varphi+2 \pi k}{n} }$

Разве это так? Ведь на $\left|z\right|$ не наложено никаких ограничений.

 Профиль  
                  
 
 Re: какие из множеств
Сообщение09.05.2023, 22:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6865
Alexander__ в сообщении #1593189 писал(а):
Какие из множеств $\sqrt[n]{z}$

Я извиняюсь, а где тут множества? И сколько их?

 Профиль  
                  
 
 Re: какие из множеств
Сообщение11.05.2023, 17:41 


07/03/13
123
Sinoid в сообщении #1593204 писал(а):
Alexander__ в сообщении #1593189 писал(а):
$ \operatorname{Im} \sqrt[n]{z} = \sin { \frac{\varphi+2 \pi k}{n} }$

Разве это так? Ведь на $\left|z\right|$ не наложено никаких ограничений.


Вы про ограничение $\left|z\right| = 0$? Или про что?

-- 11.05.2023, 17:52 --

mihaild в сообщении #1593195 писал(а):
Отсюда Вам нужно найти условие на $n$, чтобы получившееся уравнение имело хотя бы одно решение.


$n = \frac{\varphi+2 \pi k}{\pi + 2 \pi l} $ , для всех целых $k$ и $l$. И это ответ?

-- 11.05.2023, 17:58 --

мат-ламер в сообщении #1593226 писал(а):
Alexander__ в сообщении #1593189 писал(а):
Какие из множеств $\sqrt[n]{z}$

Я извиняюсь, а где тут множества? И сколько их?


Для произвольного $z$ извлечение корня $\sqrt[n]{z}$ порождает множество мощности $n$ комплексных чисел. Всех бесконечно много :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: какие из множеств
Сообщение11.05.2023, 18:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6865
Alexander__ в сообщении #1593460 писал(а):
Для произвольного $z$ извлечение корня $\sqrt[n]{z}$ порождает множество мощности $n$ комплексных чисел. Всех бесконечно много :-)

Спасибо! Теперь условие понятно. :D
Alexander__ в сообщении #1593189 писал(а):
Я не понимаю в чём вопрос.

Надеюсь в условии вы разобрались?
Что касается ваших формул, я их не понял (даже не пытался). У меня на эту задачу чисто интуитивно-геометрическое видение (без всяких формул). Поэтому влезать в обсуждение не буду.

 Профиль  
                  
 
 Re: какие из множеств
Сообщение11.05.2023, 22:41 


03/06/12
2770
Alexander__ в сообщении #1593460 писал(а):
Вы про ограничение $\left|z\right| = 0$?

Может быть. Вообще я имел ввиду, что написанное вами равенство выполнялось бы хотя бы при условии $\left|z\right| = 1$. В общем же случае оно не выполняется.

 Профиль  
                  
 
 Re: какие из множеств
Сообщение12.05.2023, 12:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Зачем вообще писать какие-то формулы? Достаточно определений. Чтобы множество $\sqrt[n]{z}$ содержало вещественное число, $z$ должно быть $n$-й степенью вещественного числа. Чтобы понять, когда это так, не нужны никакие формулы.

 Профиль  
                  
 
 Re: какие из множеств
Сообщение15.05.2023, 10:23 


07/03/13
123
Sinoid в сообщении #1593532 писал(а):
Alexander__ в сообщении #1593460 писал(а):
Вы про ограничение $\left|z\right| = 0$?

Может быть. Вообще я имел ввиду, что написанное вами равенство выполнялось бы хотя бы при условии $\left|z\right| = 1$. В общем же случае оно не выполняется.


Вы правы. Я ошибся.

-- 15.05.2023, 10:37 --

мат-ламер в сообщении #1593469 писал(а):
Alexander__ в сообщении #1593189 писал(а):
Я не понимаю в чём вопрос.

Надеюсь в условии вы разобрались?
Что касается ваших формул, я их не понял (даже не пытался). У меня на эту задачу чисто интуитивно-геометрическое видение (без всяких формул). Поэтому влезать в обсуждение не буду.


RIP в сообщении #1593614 писал(а):
Зачем вообще писать какие-то формулы? Достаточно определений. Чтобы множество $\sqrt[n]{z}$ содержало вещественное число, $z$ должно быть $n$-й степенью вещественного числа. Чтобы понять, когда это так, не нужны никакие формулы.


Нашёл полезную визуализацию https://demonstrations.wolfram.com/Root ... exNumbers/ . Верно ли следующее?
- для чётного $n$ и неотрицательного действительного $z$
- для нечётного $n$ и любого действительного $z$

 Профиль  
                  
 
 Re: какие из множеств
Сообщение15.05.2023, 13:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10802
Crna Gora
Alexander__ в сообщении #1593949 писал(а):
Верно ли следующее?
- для чётного $n$ и неотрицательного действительного $z$
- для нечётного $n$ и любого действительного $z$
Да.
Alexander__ в сообщении #1593949 писал(а):
Нашёл полезную визуализацию
У меня она работает некорректно. Скрипт неверно определяет координаты точки, задаваемой пользователем.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: LILILILILI


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group