какие из множеств

[Alexander__]

Условие:
Какие из множеств $\sqrt[n]{z}$ содержат хотя бы одно вещественное число?

---

Я не понимаю в чём вопрос. Необходимо, чтобы $ \operatorname{Im} \sqrt[n]{z} = \sin { \frac{\varphi+2 \pi k}{n} } = 0$, значит $ \frac{\varphi+2 \pi k}{n} = 2 \pi l $ или $ \frac{\varphi+2 \pi k}{n} = \pi + 2 \pi l $. Откуда мне непонятно нужно найти что? Помогите разобраться, пожалуйста.

[mihaild]

Отсюда Вам нужно найти условие на $n$, чтобы получившееся уравнение имело хотя бы одно решение.

[Sinoid]

Alexander__ в сообщении #1593189 писал(а):

$ \operatorname{Im} \sqrt[n]{z} = \sin { \frac{\varphi+2 \pi k}{n} }$

Разве это так? Ведь на $\left|z\right|$ не наложено никаких ограничений.

[мат-ламер]

Alexander__ в сообщении #1593189 писал(а):

Какие из множеств $\sqrt[n]{z}$

Я извиняюсь, а где тут множества? И сколько их?

[Alexander__]

Sinoid в сообщении #1593204 писал(а):

Alexander__ в сообщении #1593189 писал(а):

$ \operatorname{Im} \sqrt[n]{z} = \sin { \frac{\varphi+2 \pi k}{n} }$

Разве это так? Ведь на $\left|z\right|$ не наложено никаких ограничений.

Вы про ограничение $\left|z\right| = 0$? Или про что?

-- 11.05.2023, 17:52 --

mihaild в сообщении #1593195 писал(а):

Отсюда Вам нужно найти условие на $n$, чтобы получившееся уравнение имело хотя бы одно решение.

$n = \frac{\varphi+2 \pi k}{\pi + 2 \pi l} $ , для всех целых $k$ и $l$. И это ответ?

-- 11.05.2023, 17:58 --

мат-ламер в сообщении #1593226 писал(а):

Alexander__ в сообщении #1593189 писал(а):

Какие из множеств $\sqrt[n]{z}$

Я извиняюсь, а где тут множества? И сколько их?

Для произвольного $z$ извлечение корня $\sqrt[n]{z}$ порождает множество мощности $n$ комплексных чисел. Всех бесконечно много

[мат-ламер]

Alexander__ в сообщении #1593460 писал(а):

Для произвольного $z$ извлечение корня $\sqrt[n]{z}$ порождает множество мощности $n$ комплексных чисел. Всех бесконечно много

Спасибо! Теперь условие понятно.

Alexander__ в сообщении #1593189 писал(а):

Я не понимаю в чём вопрос.

Надеюсь в условии вы разобрались?
Что касается ваших формул, я их не понял (даже не пытался). У меня на эту задачу чисто интуитивно-геометрическое видение (без всяких формул). Поэтому влезать в обсуждение не буду.

[Sinoid]

Alexander__ в сообщении #1593460 писал(а):

Вы про ограничение $\left|z\right| = 0$?

Может быть. Вообще я имел ввиду, что написанное вами равенство выполнялось бы хотя бы при условии $\left|z\right| = 1$. В общем же случае оно не выполняется.

[RIP]

Зачем вообще писать какие-то формулы? Достаточно определений. Чтобы множество $\sqrt[n]{z}$ содержало вещественное число, $z$ должно быть $n$-й степенью вещественного числа. Чтобы понять, когда это так, не нужны никакие формулы.

[Alexander__]

Sinoid в сообщении #1593532 писал(а):

Alexander__ в сообщении #1593460 писал(а):

Вы про ограничение $\left|z\right| = 0$?

Может быть. Вообще я имел ввиду, что написанное вами равенство выполнялось бы хотя бы при условии $\left|z\right| = 1$. В общем же случае оно не выполняется.

Вы правы. Я ошибся.

-- 15.05.2023, 10:37 --

мат-ламер в сообщении #1593469 писал(а):

Alexander__ в сообщении #1593189 писал(а):

Я не понимаю в чём вопрос.

Надеюсь в условии вы разобрались?
Что касается ваших формул, я их не понял (даже не пытался). У меня на эту задачу чисто интуитивно-геометрическое видение (без всяких формул). Поэтому влезать в обсуждение не буду.

RIP в сообщении #1593614 писал(а):

Зачем вообще писать какие-то формулы? Достаточно определений. Чтобы множество $\sqrt[n]{z}$ содержало вещественное число, $z$ должно быть $n$-й степенью вещественного числа. Чтобы понять, когда это так, не нужны никакие формулы.

Нашёл полезную визуализацию https://demonstrations.wolfram.com/Root ... exNumbers/ . Верно ли следующее?
- для чётного $n$ и неотрицательного действительного $z$
- для нечётного $n$ и любого действительного $z$

[svv]

Alexander__ в сообщении #1593949 писал(а):

Верно ли следующее?
- для чётного $n$ и неотрицательного действительного $z$
- для нечётного $n$ и любого действительного $z$

Да.

Alexander__ в сообщении #1593949 писал(а):

Нашёл полезную визуализацию

У меня она работает некорректно. Скрипт неверно определяет координаты точки, задаваемой пользователем.