А существуют ли утверждения о натуральных числах, независящие от аксиом ZFC?
Да, например "ZFC непротиворечива".
Ну или например утверждение "длина кратчайшей программы, выдающей
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
, не меньше
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
" для всех достаточно больших
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
недоказуемо ни для какого
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
. Поскольку опровержимо оно только для конечного числа
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
(т.к. даже PA умеет доказывать, что таких
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
не больше чем
![$2^{n + 1}$ $2^{n + 1}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/c/5/7c56edd283139401c00b07cef86466b782.png)
), то для почти всех
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
и
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
это утверждение не зависит от ZFC.
Но кстати интересный момент: если утверждение о натуральных числах доказуемо в ZFC, то оно доказуемо и в ZF.
Какое?
Перечислимость множества аксиом.
Наверное, это и есть ответ на вопрос?
Да это тривиальщина, просто из определений. Аксиоматическая система - множество строчек, натуральные числа множеством строчек не являются.
Т.е. вы допускаете, что может найтись две формальные системы натуральных чисел (подобные Пеано и др), где вопрос о простых числах близнецах имеет разные ответы?
Допускаю.
А в ZFC как мы жульничаем?
А никак. Поэтому ZFC тоже неполна, и у неё тоже есть странные модели.