Начало моего решения почти совпадает с началом решения уважаемого
Cos(x-pi/2), поэтому достаточно упомянуть отличия (мелкие). Щадя читателя
, я буду использовать те же обозначения (только безразмерное время будет
).
Из системы уравнений
видно, что случай
сводится к случаю
отражением
. Поэтому считаем
Поскольку
, то и
(нас же не интересуют случаи нейтральной частицы или отсутствия магнитного поля?).
Систему с безразмерным временем
решим с использованием комплексных чисел (но не метода комплексных амплитуд). Считая переменные
вещественными, образуем из них комплексное число
. Складывая первое уравнение со вторым, умноженным на
, получим
Характеристическое уравнение
имеет корни
Договоримся здесь под
понимать то из двух значений комплексного корня, у которого вещественная часть положительна. Легко видеть, что тогда даже
, так что
Общим решением ДУ для
будет
но поскольку второе слагаемое при
неограниченно растёт по модулю, его приходится отбрасывать «вручную». Это — runaway solution (и та самая ложка дёгтя). Зато первое слагаемое стремится к нулю при
. Оно даёт «затухающую спираль».
Разложим
и
на вещественную и мнимую части:
Тогда
откуда
_____________
Была ещё такая мысль. Систему с безразмерным временем можно записать в матричном виде
В больших круглых скобках — дифференциальный оператор второго порядка. Попробуем его разложить в произведение (композицию) двух операторов первого порядка
где
— матрицы, так, чтобы один оператор был хорошим (давал систему уравнений с решением, стремящимся к нулю), а второй — плохим (давал расходящуюся спираль). После этого плохая часть, опять-таки, выбрасывается, и остаётся система двух ДУ первого порядка.
Это получилось, но какого-то упрощения решения не дало.