Радиационное трение

[Cos(x-pi/2)]

svv
Если Вас не сильно затруднит, то изложите, пожалуйста, Ваше решение! (Пусть будет хоть и с бочкой дёгтя - тем полезнее и интереснее!)

[svv]

С удовольствием. Мне тоже нужно немного времени.

[svv]

Начало моего решения почти совпадает с началом решения уважаемого Cos(x-pi/2), поэтому достаточно упомянуть отличия (мелкие). Щадя читателя , я буду использовать те же обозначения (только безразмерное время будет $\theta$).

Из системы уравнений
$\begin{array}{l}\ddot{x}=\phantom{+}\omega_c \dot{y} + \tau \dddot{x}\\\ddot{y}=-\omega_c \dot{x} + \tau \dddot{y}\end{array}$
видно, что случай $\omega_c<0$ сводится к случаю $\omega_c>0$ отражением $y\to -y$. Поэтому считаем $\omega_c>0.$ Поскольку $\tau>0$, то и $w>0$ (нас же не интересуют случаи нейтральной частицы или отсутствия магнитного поля?).

Систему с безразмерным временем
$\begin{array}{l}w\ddot x-\dot x+y=0\\w\ddot y-\dot y-x=0\end{array}$
решим с использованием комплексных чисел (но не метода комплексных амплитуд). Считая переменные $x,y$ вещественными, образуем из них комплексное число $z=x+iy$. Складывая первое уравнение со вторым, умноженным на $i$, получим
$w\ddot z-\dot z-iz=0$
Характеристическое уравнение $w\lambda^2-\lambda-i=0$ имеет корни
$\lambda_1=\dfrac{1-\sqrt{1+4wi}}{2w}$
$\lambda_2=\dfrac{1+\sqrt{1+4wi}}{2w}$
Договоримся здесь под $\sqrt{1+4wi}$ понимать то из двух значений комплексного корня, у которого вещественная часть положительна. Легко видеть, что тогда даже $\operatorname{Re}\sqrt{1+4wi}>1$, так что
$\operatorname{Re}\lambda_1<0,\quad \operatorname{Im}\lambda_1<0$
$\operatorname{Re}\lambda_2>0,\quad \operatorname{Im}\lambda_2>0$
Общим решением ДУ для $z(\theta)$ будет
$z=z_{01}e^{\lambda_1\theta}+z_{02}e^{\lambda_2\theta},$
но поскольку второе слагаемое при $\theta\to +\infty$ неограниченно растёт по модулю, его приходится отбрасывать «вручную». Это — runaway solution (и та самая ложка дёгтя). Зато первое слагаемое стремится к нулю при $\theta\to +\infty$. Оно даёт «затухающую спираль».

Разложим $z_{01}$ и $\lambda_1$ на вещественную и мнимую части:
$\begin{array}{ll}z_{01}=x_0+iy_0&\\\lambda_1=-p-iq&(p>0, q>0)\end{array}$
Тогда
$z(\theta)=x(\theta)+iy(\theta)=e^{-p\theta}(x_0+iy_0)(\cos q\theta-i\sin q\theta),$
откуда
$x(\theta)=e^{-p\theta}(\phantom{+}x_0\cos q\theta+y_0\sin q\theta)$
$y(\theta)=e^{-p\theta}(-x_0\,\sin q\theta+y_0\cos q\theta)$
_____________

Была ещё такая мысль. Систему с безразмерным временем можно записать в матричном виде
$\left(\dfrac{d^2}{d\theta^2}-\dfrac 1w \dfrac{d}{d\theta}+\dfrac 1w\begin{bmatrix}0&1 \\-1&0\end{bmatrix}\right) \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}$
В больших круглых скобках — дифференциальный оператор второго порядка. Попробуем его разложить в произведение (композицию) двух операторов первого порядка
$\left(\dfrac{d}{d\theta}-A\right)\left(\dfrac{d}{d\theta}-B\right),$
где $A,B$ — матрицы, так, чтобы один оператор был хорошим (давал систему уравнений с решением, стремящимся к нулю), а второй — плохим (давал расходящуюся спираль). После этого плохая часть, опять-таки, выбрасывается, и остаётся система двух ДУ первого порядка.
Это получилось, но какого-то упрощения решения не дало.

[Cos(x-pi/2)]

svv, спасибо большое!

Да, из Вашего вывода видно, что не уделить внимания частному решению $z_{02}e^{\lambda_2\theta}$ в формуле общего решения ДУ (т.е. попросту потерять его, как вышло у меня) - серьёзная ошибка моей дилетантской попытки...

Во-первых, потому это серьёзная ошибка, что нельзя терять никаких слагаемых - их присутствие в точном общем решении ДУ диктуется математикой. Можно вычеркнуть в точном решении $z(\theta)$ слагаемое $z_{02}e^{\lambda_2\theta}$ вручную только выбором начального условия в виде строгого равенства $z_{02}=0.$

Во-вторых, именно слагаемым $z_{02}e^{\lambda_2\theta}$ в точном решении ДУ явно объясняется поведение приближённых вычислений. Действительно, в машинном счёте "вперёд во времени" при выборе начальных условий невозможно численно выдержать строгое равенство $z_{02}=0.$ Значит, в численных начальных данных неизбежно будет присутствовать примесь растущей со временем $\theta$ экспоненты $e^{\lambda_2\theta},$ она и проявится как нарастающая "раскрутка спирали". А при счёте "назад во времени" подобная начальная примесь убывает, и численное решение стремится к $z_{01}e^{\lambda_1\theta}.$ (Если я что-то не понял и опять плохо написал, поправьте, пожалуйста.)

Огромное Вам спасибо ещё раз, уважаемый svv! Изложенное Вами решение не только очень ясное, но и очень красивое!

[Cos(x-pi/2)]

Не могу уже отредактировать; после слов "Во-вторых, именно слагаемым..." показатель экспоненты в моём тексте по моему недосмотру вниз свалился. Приношу извинения. Там должно быть так: $z_{02}e^{\lambda_2\theta}.$

внес правку // photon

[svv]

Cos(x-pi/2), спасибо за лестную оценку.
Мне очень приятно, но я никогда не забываю, что это мне нужно у Вас учиться. Как я говорил, все мои познания не выходят за рамки второго-третьего курса. А квантовой механики, например, я не знаю совсем. И много чего другого.