Рациональная параметризация x^2-D*y^2=-1

[dmd]

Пелля-подобное уравнение $x^2-Dy^2=1$ в рациональных числах параметризуется как $(x,y)=\left(\dfrac{u^2+Dv^2}{u^2-Dv^2}, \dfrac{-2uv}{u^2-Dv^2}\right)$, где $(u, v) \in \mathbb Q$, безквадратное $D \in \mathbb Z^+$.

Существует ли подобная параметризация для уравнения $x^2-Dy^2=-1$?

[mathematician123]

Если $D$ делится на некоторое простое вида $4k + 3$, то решений нет.

Если все простые делители $D$ имеют вид $4k+1$, то $D = a^2 + b^2$. Тогда у уравнения $x^2 - Dy^2 = -1$ есть решение $(\frac{a}{b}, \frac{1}{b})$. Тогда с помощью постановки $y - \frac{1}{b} = k(x - \frac{a}{b})$ можно получить параметризацию.

[dmd]

Тогда искомая параметризация имеет вид $(x,y)=\left(\dfrac{a(-1+D k^2)}{b-2 D k+b D k^2},-\dfrac{1-2 b k+D k^2}{b-2 D k+b D k^2}\right)$, где $k$ - рациональное.

Но является ли эта параметризация исчерпывающей, т.е. описывающей все возможные рациональные решения уравнения $x^2-Dy^2=-1$?

[mathematician123]

dmd в сообщении #1592642 писал(а):

Но является ли эта параметризация исчерпывающей, т.е. описывающей все возможные рациональные решения уравнения $x^2-Dy^2=-1$?

Подстановка $y - \frac{1}{b} = k(x - \frac{a} {b})$ возможна, если $x \neq \frac{a}{b}$. Поэтому параметризация описывает все решения за возможным исключением $(\frac{a}{b}, \pm \frac{1}{b}) $.

[EUgeneUS]

mathematician123 в сообщении #1592636 писал(а):

Если $D$ делится на некоторое простое вида $4k + 3$, то решений нет.

Если все простые делители $D$ имеют вид $4k+1$, то $D = a^2 + b^2$. Тогда у уравнения $x^2 - Dy^2 = -1$ есть решение $(\frac{a}{b}, \frac{1}{b})$. Тогда с помощью постановки $y - \frac{1}{b} = k(x - \frac{a}{b})$ можно получить параметризацию.

Этого условия (плюс $D$ - безквадратое) не достаточно.
Ещё запрещены $D$, делящиеся на $4$.

Но и этого не достаточно. См. A031398. Первое $D$, удовлетворяющее "все простые делители $D$ имеют вид $4k+1$", для которого отрицательное уравнение Пелля не разрешимо - $205 = 5 \cdot 41$

-- 05.05.2023, 18:09 --

Или в таких случаях в целых нет решений, а в рациональных - есть?

[mathematician123]

EUgeneUS в сообщении #1592652 писал(а):

Или в таких случаях в целых нет решений, а в рациональных - есть?

Да. dmd
написал параметризацию этих решений. Среди этих решений могут встретиться целочисленные, а могут и не встретиться.

Хотя я неправильно написал:

mathematician123 в сообщении #1592636 писал(а):

Если все простые делители $D$ имеют вид $4k+1$, то $D = a^2 + b^2$.

Здесь 2 тоже может быть делителем числа $D$. То есть, исходный вопрос решается полностью: если $D$ имеет простой делитель вида $4k+3$, то решений нет. А если не имеет, то решений бесконечно много и их можно параметризовать.

[Andrey A]

dmd в сообщении #1592625 писал(а):

Существует ли подобная параметризация для уравнения $x^2-Dy^2=-1$?

Существует. Но не подобная, поскольку $D$ — не любое число. Решение полное:
Для произвольной тройки $a,b,y$ однозначно определены $x=\dfrac{a-b}{ab+1}$ и $D=\dfrac{(a^2+1)(b^2+1)}{(ab+1)^2y^2}.$
Если $x_0^2-Dy_0^2=-1$ некоторое решение, и $D=p^2+q^2$, то $a=\dfrac{qy_0+x_0}{1-py_0},\ b=\dfrac{qy_0-x_0}{1-py_0}$ определены (обратная связь).

[Andrey A]

P.S.
Сделаем для удобства подстановку $a \rightarrow -a.$ Тогда решение выглядит так:
Для произвольной тройки $a,b,y$ однозначно определены $x=\dfrac{a+b}{ab-1}$ и $D=\dfrac{(a^2+1)(b^2+1)}{(ab-1)^2y^2}.$
Если $x_0^2-Dy_0^2=-1$ есть некоторое решение, и $D=p^2+q^2$, то $a=\dfrac{x_0+qy_0}{py_0-1},\ b=\dfrac{x_0-qy_0}{py_0-1}$ также определены (обратная связь).
Ну, а если хочется получить решение для фиксированного $D=p^2+q^2$ (из уважения к Пеллю), можно взять, к примеру, $a \rightarrow \dfrac{p}{q},\ b \rightarrow \dfrac{n^2-1}{2n}$ и получить $1$-параметрическую серию $x=\dfrac{q(n^2-1)+2pn}{p(n^2-1)-2qn},\ y=\dfrac{n^2+1}{p(n^2-1)-2qn}.$

Но это, конечно, не все решения.

[Shadow]

EUgeneUS в сообщении #1592652 писал(а):

Этого условия (плюс $D$ - безквадратое) не достаточно.
Ещё запрещены $D$, делящиеся на $4$.

Но и этого не достаточно. См. A031398
. Первое $D$, удовлетворяющее "все простые делители $D$ имеют вид $4k+1$", для которого отрицательное уравнение Пелля не разрешимо - $205 = 5 \cdot 41$

-- 05.05.2023, 18:09 --

Или в таких случаях в целых нет решений, а в рациональных - есть?

Вообще то данное уравнение есть уравнение в целых числах

$X^2+Z^2=DY^2$

Тоесть, имеет решений если все простые делители $-1 \mod 4$ в четной степени. И с четверкой нет проблем.

$x^2-20y^2=-1$ имеет решение $\left(\dfrac 1 2, \dfrac 1 4\right)$

и не только, конечно

[Andrey A]

Всё проще. Для $D=p^2+q^2$ уравнение $x^2-Dy^2=-1$ в рациональных числах имеет $1$-параметрическое решение:

$$x=\dfrac{q(n^2-1)+2pn}{p(n^2-1)-2qn};\ y=\dfrac{n^2+1}{p(n^2-1)-2qn},$$

где $n$ — свободная переменная такая, что $p(n^2-1)-2qn \neq 0.$

Пусть $x_0^2-Dy_0^2=-1$ некоторое решение, тогда $n=\dfrac{x_0+qy_0}{py_0-1}$ определено однозначно, что можно проверить прямой подстановкой. Следовательно, решение общее.