Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения

[Lexey]

А вот нашел: https://github.com/cranmer/poisson-convolution-sum
Но там в статьях оно зарыто в конкретный контекст, не выписано математически красиво, поэтому его трудно найти. А вещь полезная и неочевидная. Хоть вывод и прямолинеен, результат получается неожиданно простым: вместо ожидаемого $\mathcal O(n^2)$ выходит $\mathcal O(n\ log(n))$.

[juna]

$$\cfrac{3}{1+\cfrac{3}{1+\cfrac{3}{1+\ldots}}}-\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{3+\ldots}}}=1$$

[maximav]

Есть ряд (формула), который дает кажется миллион правильных цифр числа $\pi$, но потом все цифры неправильные. Подскажите ссылку, пжлст. Точно видел, но не помню где.

[Verkhovtsev]

Не знаю, упоминалось ли в теме или нет, но тем не менее:

$$\frac{\pi}4 = 4\arctg \frac 15 - \arctg \frac1{239}$$

Это формула Мэчина образца 1706 года. Контекст можно найти в Wiki.
Вряд ли основатели лицея №239 задумывались об этой формуле, но аллюзия забавная)

[Aritaborian]

Как несложно разузнать, упомянутое учреждение не всегда носило указанный номер, да и нынешний присвоен ему не то что бы совсем уж рандомно, но запросто мог быть другим.
Вот иное дело — имея номер, задуматься о присвоении лицею имени товарища Мэчина. А ведь не исключено, что кто-то и до вас, Verkhovtsev, задумывался. Возможно, даже поднимал вопрос в среде ответственных за такое людей. Но идею не поняли, не оценили.

[nnosipov]

239 --- простое число, и это (удачное) обстоятельство обыгрывается в некоторых задачах местной математической олимпиады. Например: докажите, что если $n$-е число Фибоначчи делится на 239, то $n$ четно.

[worm2]

maximav в сообщении #1550571 писал(а):

Есть ряд (формула), который дает кажется миллион правильных цифр числа $\pi$, но потом все цифры неправильные.

Вероятнее всего, вы что-то путаете. Если бы что-то похожее было известно, оно наверняка попало бы сюда:
https://en.wikipedia.org/wiki/Approximations_of_%CF%80

[VladTK]

Интересное соотношение
\sum \limits^{\frac{p-3}{2}}_{k=0} \sin^2{\left( \cfrac{(2 k+1) N \pi}{p} \right)}=\cfrac{p}{4}
где $p$ - простое число, большее 3; $N$ - целое, не делящееся на $p$.

[novichok2018]

Подобные формулы - это дети сумм Гаусса, наверное.

[nnosipov]

novichok2018 в сообщении #1564222 писал(а):

Подобные формулы - это дети сумм Гаусса, наверное.

Нет, суммы Гаусса похитрее будут. А это обычная тригонометрическая сумма и формула справедлива для любого нечетного $p \geqslant 3$ и $N \not\equiv 0 \pmod{p}$.

[B.A.S.]

Такое было?

$1!=1!$

$1! \cdot 3!=(1+2)!$

$1! \cdot 3! \cdot 5!=(1+2+3)!$

$1! \cdot 3! \cdot 5! \cdot 7!=(1+2+3+4)!$

Но дальше уже неверно - в правой части появляются простые множители, которых в левой нет. И асимптотика на бесконечности разная.

[Agidel]

Обобщение константы $\pi$ через гамма-функцию:


$\pi_m= (m^N\cdot\frac{\Gamma(\frac{m+N}{m})\cdot\Gamma(\frac{m+N-1}{m})\cdot\Gamma(\frac{m+N-2}{m})\cdot...\cdot\Gamma(\frac{N+1}{m})}{\Gamma(N+1)})^m$

Удивительно, что константа $\pi_m$ не зависит от $N$.

[BalyunovVV]

$$\prod\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{x-a_k}=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\prod\limits_{l=1,l\ne k}^{n}\frac{1}{a_k-a_l}\right)\frac{1}{x-a_k} \quad x\ne a_k, a_k\ne a_l \quad $$

[Nik_Nikols]

BalyunovVV в сообщении #1700590 писал(а):

$$\prod\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{x-a_k}=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\prod\limits_{l=1,l\ne k}^{n}\frac{1}{a_k-a_l}\right)\frac{1}{x-a_k} \quad x\ne a_k, a_k\ne a_l \quad $$

Известный сюжет. Правая часть после деления на левую и сокращений дает многочлен степени $n-1$, который равен единице в $n$ различных точках, а значит, везде.