регрессионное уравнение окружности

[Nikita.bsu]

Народ скажите может кто знает где почитать про регриссионное уравнение окружности.(построить окружность по методу наименьших квадратов)

[gris]

Поищите в гугле по запросу "регрЕссионное уравнение окружности". Материала много.

[Nikita.bsu]

а можно ссылку. Материала много но про линейную и полимиальную. Я не нашел в гугле, поэтому и обратился на форум.

[gris]

Может быть я ошибся, но мне вопрос показался из области корреляционного и регрессионного анализа (матстатистика). Метод наименьших квадратов тоже там присутствует. Вы, наверное, что-то другое имели в виду? А я имел в виду только то, что искать с ключевыми словами "регриссионное" и "полимиальная" бесполезно.

[Nikita.bsu]

Поставим задачу чтобы не вызывать путаницы. Иммется множество точек $\left\{ {x_i ,y_i } \right\}$. Уравнение окружности имеет вид $(x - x_0 )^2 + (y - y_0 )^2 = r^2$, откуда $y = y_0 \pm \sqrt {r^2 - (x - x_0 )^2 }$. Теперь ищем наилучшую окружность по методу наименьших квадратов $\sum\limits_{i = 1}^N {\left( {y - y_i } \right)^2 = } \sum\limits_{i = 1}^N {\left( {y_0 \pm \sqrt {r^2 - (x_i - x_0 )^2 } - y_i } \right)^2 \to \min }$. Находим частные производные по $x_0, y_0$ и $r$, приравниваем их к нулю - получаем систему из трех уравнений. Мне нужна помощь по нахождению коэффициентов $x_0, y_0, r$ из этой системы.

[mkot]

Сходу в голову приходит только следующее построение.
Пусть $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$ -- искомое уравнение окружности, $(x_0, y_0)$ -- центр
этой окружности. $r$ -- радиус.
Пусть $(x_1, y_1), \ldots (x_n, y_n)$ -- заданный набор точек.

Введём ошибку следующим образом:
$\varepsilon_i = (x_i - x_0)^2 + (y_i - y_0)^2 - r^2.$

Тогда необходимо найти минимум функции

$$ f = \sum_{i=1}^n \varepsilon_i^2 = \sum_{i=1}^n ((x_i - x_0)^2 + (y_i - y_0)^2 - r^2)^2. $$

Для этого приравниваем к нулю частные производные
$\frac{\partial f}{\partial (r^2)} = 0,$
$\frac{\partial f}{\partial x_0} = 0,$
$\frac{\partial f}{\partial y_0} = 0.$
Но в результате получается система нелинейных уравнений, которую решить можно разве
что численно.

[Nikita.bsu]

mkot писал(а):

Введём ошибку следующим образом:
$\varepsilon_i = (x_i - x_0)^2 + (y_i - y_0)^2 - r^2.$

А почему ошибку вводим таким образом?

$\frac{{\partial f}}{{\partial r}} = r\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {(x_i - x_0 )^2 + (y_i - y_0 )^2 - r^2 } \right)} = 0$ Отсюда следует что все точки должны лежать на окружности, я правильно понимаю?

[mkot]

Nikita.bsu писал(а):

mkot писал(а):

Введём ошибку следующим образом:
$\varepsilon_i = (x_i - x_0)^2 + (y_i - y_0)^2 - r^2.$

А почему ошибку вводим таким образом?

А нам так захотелось. Просто чтобы не было модулей, корней и прочей нечисти.
Вы же согласитесь, что это число равно нулю, когда точка лежит на окружности и не равно нулю в противном случае?

Гугление по запросу least squares circle дало следующую интересную ссылку
http://www.dtcenter.org/met/users/docs/write_ups/circle_fit.pdf

[Nikita.bsu]

Спасибо за ссылку.

[mkot]

Nikita.bsu писал(а):

$\frac{{\partial f}}{{\partial r}} = r\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {(x_i - x_0 )^2 + (y_i - y_0 )^2 - r^2 } \right)} = 0$ Отсюда следует что все точки должны лежать на окружности, я правильно понимаю?

Нет не правильно.

Заметьте, что я написал производную по $r^2$, а не по $r$.

[Nikita.bsu]

mkot писал(а):

Nikita.bsu писал(а):

$\frac{{\partial f}}{{\partial r}} = r\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {(x_i - x_0 )^2 + (y_i - y_0 )^2 - r^2 } \right)} = 0$ Отсюда следует что все точки должны лежать на окружности, я правильно понимаю?

Нет не правильно.

Заметьте, что я написал производную по $r^2$, а не по $r$.

А теперь понятно, проглядел производную.

[Алексей К.]

Подозреваю, что знаю проблему досконально (или знал 15 лет назад). Остаточные явления болезни мешают вмешаться активно. Завтра поучаствую. Основные идеи:

(1) Минимизация $F^2(x,y)$, где $F(x,y)=0$ --- неявное уравнение окружности, при введении новой переменной, видимо, $Q=R^2-x_0^2-y_0^2$ приводит к линейной системе. Более того, легко показать, что при малых отклонениях от круглости результат практически совпадает с честной минимизацией суммы квадратов расстояний. И это важно!

(2) Честное решение, если его всё же очень хочется, получается легко линеаризацией функционала и итерированием. Первое приближение всё равно надо искать по способу (1). Количество итераций (при малых отклонениях от круглости) мало.

Ссылку тоже завтра поищу.

Добавлено спустя 7 минут 13 секунд:

Ну и не забывайте в этих задачах переходить в систему центра тяжести измеренных точек. И матрицы упрощаются, и результат компьютерно-точнее выходит.

Добавлено спустя 4 минуты 48 секунд:

Nikita.bsu писал(а):

Теперь ищем наилучшую окружность по методу наименьших квадратов $\sum\limits_{i = 1}^N {\left( {y - y_i } \right)^2 = } \sum\limits_{i = 1}^N {\left( {y_0 \pm \sqrt {r^2 - (x_i - x_0 )^2 } - y_i } \right)^2 \to \min }$.

Это нехорошо, очень. Это не есть расстояние от точки до окружности. И что мы будем делать, когда прийдётся корень из отрицательного числа извлекать??? Попробуйте (пока) получить правильную формулу $D(x,y;a,b,r)\;(x_0\to a,\:y_0\to b)$.

Добавлено спустя 32 минуты 48 секунд:

Почитал внимательнее:

Nikita.bsu писал(а):

А почему ошибку вводим таким образом?

mkot в ответ писал(а):

А нам так захотелось.

Как я уже писал, "легко показать, что..." Погрешности определения параметров окружности по этому способу будут, если не ошибаюсь, второго порядка по сравнению с отклонениями от круглости. Что, естественно, приемлемо. И что есть более удовлетворительное обоснование чем "нам так захотелось". По хорошему --- сначала нам так захотелось по понятным причинам (mkot их изложил), а потом мы посмотрели и убедились, что это правильно.

Добавлено спустя 32 минуты 48 секунд:

Ну и, присоединяясь к gris, призываю автора быть внимательнее к орфографии. Будем немного учёными, или поблизости. В частности, стоило бы исправить название темы правкой первого сообщения: регрессионное уравнение окружности. Пусть Гугл про регрИ... ничего не знает.

Добавлено спустя примерно 650 минут:

gris в сообщении #159174 писал(а):

мне вопрос показался из области корреляционного и регрессионного анализа (матстатистика).

Я могу комментировать вопрос с точки зрения допускового контроля (на координатно-измерительной машине). Термин "отклонение от круглости" оттуда. Одно другому не противоречит. Проблема корреляций в этой задаче особо интересна (она возникает в случае малой дуги).
Так что, если автор намерен продолжить беседу, пару слов о контексте задачи не помешают.