Гравиполе куба вдоль диагонали

[Red_Herring]

svv в сообщении #1591859 писал(а):

$\lim\limits_{R_{0}\to\infty}H$ — так всегда пишут.

Тогда я в упор не понимаю. о чём речь. Очевидно

$$\boldsymbol{H}=\nabla m|\boldsymbol{x}|^{-1}+ O(|\boldsymbol{x}|^{-3}) $$

так что не только предел равен $0$ но и первый член асимптотики есть. Более нетривиальный вопрос это вычисление второго члена (или хотя бы более точная оценка остатка) тоже из числа простых и не требует всех тех вычислений.

[Geen]

Евгений Машеров в сообщении #1591907 писал(а):

ищется потенциал на продолжении диагонали куба

Да не потенциал, а напряжённость.... (хоть ТC упорно умалчивает об этом)

[Red_Herring]

Geen в сообщении #1591939 писал(а):

Да не потенциал, а напряжённость.... (хоть ТC упорно умалчивает об этом)

Мне одному кажется (я сильно отупел в последние дни, т.к. проверяю экзамен, но, надеюсь, это обратимо) что в точках этой "диагонали" напряженность направлена вдоль неё?

[Geen]

Red_Herring в сообщении #1591951 писал(а):

в точках этой "диагонали" напряженность направлена вдоль неё?

Ну да.

[Евгений Машеров]

Geen в сообщении #1591939 писал(а):

Да не потенциал, а напряжённость.... (хоть ТC упорно умалчивает об этом)

Судя по формулам - видимо да, напряжённость. Но говорит ТС о "гравиполе".
И мне хотелось бы мотивы ТС прояснить.Он пытается доказать противоречивость теории, как в более ранних своих постах, или просто упражняется в преобразованиях?

[Red_Herring]

Geen в сообщении #1591956 писал(а):

Red_Herring в сообщении #1591951 писал(а):

в точках этой "диагонали" напряженность направлена вдоль неё?

Ну да.

Поэтому достаточно вычислить потенциал на этой диагонали.

[Ende]

Евгений Машеров в сообщении #1591962 писал(а):

Он пытается доказать противоречивость теории, как в более ранних своих постах, или просто упражняется в преобразованиях?

mihail2102, ответьте, пожалуйста, на этот вопрос.

[mihail2102]

Я не пытаюсь доказывать противоречивость чего-либо. Все уже давно доказано. И ответ известен. Я пытаюсь вычислять поле традиционным способом, традиционными алгоритмами и получить результат совпадающий с уже известным. Не получается пока. Видимо из-за ошибок, которые возможно арифметические, а возможно и принципиальные. В литературе по вопросу, не уделяется внимания детализации аналитики: очень много на уровне "это очевидно" и т д. и результат. Если можете дать ссылку, где детально все выведено и получен результат, то дайте, разберусь. Но такой литературы мне не попадалось. Да и вряд ли она есть в общедоступном варианте, скорее всего в спец.фондах. Так например поле куба вдоль главной диагонали(мною получен): результат(формула) не умещается на трех страницах формата А4. Понятно, что такое печатать никто не будет. Но на простых примерах, как предложенное мною в теме, можно же во всем разобраться?

[Red_Herring]

mihail2102
Что в точности требуется в задаче?

mihail2102 в сообщении #1591971 писал(а):

В литературе по вопросу, не уделяется внимания детализации аналитики: очень много на уровне "это очевидно" и т д. и результат. Если можете дать ссылку, где детально все выведено и получен результат, то дайте, разберусь. Но такой литературы мне не попадалось. Да и вряд ли она есть в общедоступном варианте, скорее всего в спец.фондах.

[mihail2102]

В рамках содержания первого поста темы, требуется найти напряженность поля куба(формулу) вдоль диагонали (не главной)как функцию размеров куба и расстояния до контрольной точки, на далеких расстояниях(на близких расстояниях возникает проблема раскрытия модулей).

[Geen]

Положим $G=1$ и, поскольку всякие плотности будут константы, то будем искать удельные величины, т.е. отнесённые к соответствующим плотностям, причём, со знаком минус.

Найдём поле стержня с постоянной погонной плотностью длины $2a$ в плоскости, перпендикулярной стержню и проходящей через его центр, на расстоянии $r$ от его середины. Искать будем потенциал.

$$\varphi_I(r;a)=2\int_0^a\frac{dx}{\sqrt{r^2+x^2}}=2\ln\left(\frac{a+\sqrt{r^2+a^2}}{r}\right)$$

Отсюда, если надо, легко найдём напряжённость

$$f_I(r;a)=\frac{2a}{r\sqrt{r^2+a^2}}$$

Найдём теперь поле прямоугольной пластины с постоянной поверхностной плотностью размером $2a$ на $2b$ на прямой, перпендикулярной плоскости пластины и проходящей через её центр, на расстоянии $r$ от её центра. Искать будем напряжённость, и воспользуемся формулой выше.

$$\begin{aligned}f_\Box(r;a,b)=2\int_0^bf_I(\sqrt{r^2+y^2};a)\frac{r}{\sqrt{r^2+y^2}}dy=4\int_0^b\frac{ar}{(r^2+y^2)\sqrt{r^2+a^2+y^2}}dy\end{aligned}$$

Воспользуемся подстановкой $y=\sqrt{a^2+r^2}\tg\alpha$, тогда

$$dy=\sqrt{a^2+r^2}\sec^2\alpha d\alpha,\ \sqrt{r^2+a^2+y^2}=\sqrt{a^2+r^2}\sec\alpha,\ r^2+y^2=(a^2+r^2)\sec^2\alpha-a^2$$

и

$$\begin{aligned}f_\Box(r;a,b)&=4\int_0^{\alpha(b)}\frac{ar\sec\alpha}{(a^2+r^2)\sec^2\alpha-a^2}d\alpha=4\int_0^{\alpha(b)}\frac{ar\cos\alpha}{r^2+a^2\sin^2\alpha}d\alpha\\&=4\int_0^{u(\alpha(b))}\frac{ar}{r^2+a^2u^2}du=4\arctg\left(\frac{au(\alpha(b))}{r}\right)=4\arctg\left(\frac{a\sin(\alpha(b))}{r}\right)\\&=4\arctg\left(\frac{ab}{r\sqrt{a^2+b^2+r^2}}\right)\end{aligned}$$

Искать потенциал не буду - не очень сложно, но к артангенсу ещё пара неприятных логарифмов добавится...

Ну и найдём теперь напряжённость поля для куба с ребром $2R$ вдоль прямой, соединяющей центр куба с серединой ребра (вне куба).

$$\begin{aligned}f(r,R)&=\int_0^{\sqrt{2}R}f_\Box(r-z;R,\sqrt{2}R-z)dz+\int_{-\sqrt{2}R}^0f_\Box(r-z;R,\sqrt{2}R+z)dz\\&=4\int_0^{\sqrt{2}R}\arctg\left(\frac{R(\sqrt{2}R-z)}{(r-z)\sqrt{R^2+(\sqrt{2}R-z)^2+(r-z)^2}}\right)dz\\&+4\int_{-\sqrt{2}R}^0\arctg\left(\frac{R(\sqrt{2}R+z)}{(r-z)\sqrt{R^2+(\sqrt{2}R+z)^2+(r-z)^2}}\right)dz\end{aligned}$$

Дальше мне пока лень писать...

-- 01.05.2023, 15:30 --

(хотя и внутри куба эта же формула будет работать)

[mihail2102]

Geen, очень Вам благодарен.
У Вас метод геометрической композиции. Его в основном практикуют в изданиях. Мне он знаком. Детали его применения можно обсудить позже.
По интегралам в Вашем сообщении: коэффициент плотности в последних двух интегралах можно найти. Если Вас не затруднит, представьте его выражение.

[Geen]

mihail2102 в сообщении #1591995 писал(а):

У Вас метод геометрической композиции.

Нет. Это, по сути, Ваш интеграл, только посчитанный в обратном порядке, с максимальным использованией симметрий. Вы же, первым интегрированием, находите продольную составляющую поля для стержня произвольной ориентации и получившегося монстра таскаете по следующим интегралам.

-- 01.05.2023, 17:15 --

mihail2102 в сообщении #1591995 писал(а):

коэффициент плотности

Я не знаю что это такое.

[mihail2102]

В тройном интеграле плотность определяется выражением $\frac{M}{8R^3}$
В Вашем методе как определяется плотность? Я Не понял первое предложение по поводу плотностей.

[Geen]

mihail2102 в сообщении #1592004 писал(а):

В тройном интеграле плотность определяется выражением $\frac{M}{8R^3}$
В Вашем методе как определяется плотность?

У всех нормальных людей плотность определяется ни в интеграле, ни в методе. Я себя (обычно) отношу к нормальным людям. А Вы?

mihail2102 в сообщении #1592004 писал(а):

Я Не понял первое предложение по поводу плотностей.

Я не хотел таскать бессмысленные коэффициенты по интегралам (в том, что уже опубликовано это не очень критично, но вот далее....)

Впрочем, Вы всегда можете дополнить мои "формулы" необходимыми плостностями и коэффициентами...