2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Лемма про математическое ожидание числа испытаний
Сообщение25.04.2023, 13:25 


31/05/22
267
Здравствуйте, как выводится лемма, что математическое ожидание впервые встретить событие, вероятность в испытании которого $p$ равно $\frac{1}{p}$
Максимум, что я заметил, так это то, что при таком количестве испытаний математическое ожидание выпадения будет единице равно

 Профиль  
                  
 
 Re: Лемма про математическое ожидание числа испытаний
Сообщение25.04.2023, 13:44 


14/02/20
863
Maxim19 в сообщении #1591068 писал(а):
математическое ожидание впервые встретить событие, вероятность в испытании которого $p$ равно $\frac{1}{p}$

Какая лемма? впервые в каком смысле?
Maxim19 в сообщении #1591068 писал(а):
при таком количестве испытаний

При каком количестве?

-- 25.04.2023, 13:46 --

"Математическое ожидание" - это (числовая) характеристика случайной величины. Напишите, пожалуйста, ясно, мат. ожидание какой случайной величины вас интересует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лемма про математическое ожидание числа испытаний
Сообщение25.04.2023, 13:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7243
Maxim19 в сообщении #1591068 писал(а):
что математическое ожидание впервые встретить событие

Вроде тут какое-то слово пропущено. Непонятно, математическое ожидание чего? И вообще, какой эксперимент проводится? Может у нас процесс Пуассона ? Там возникает матожидание экспоненциального распределения .

 Профиль  
                  
 
 Re: Лемма про математическое ожидание числа испытаний
Сообщение25.04.2023, 13:57 


31/05/22
267
Независимые события. Пусть $x_p$ минимальный номер события, на которое появилось событие с вероятностью p(вероятность за испытание). Лемма гласит, что $M(x_p)=1/p$ Как доказать?

-- 25.04.2023, 14:00 --

Если что, это школьная штука. В решении попалась, но никак не могу доказать. При этом нигде объяснения нет

 Профиль  
                  
 
 Re: Лемма про математическое ожидание числа испытаний
Сообщение25.04.2023, 14:05 
Заслуженный участник


23/05/19
1330
Maxim19
https://allll.net/wiki/%D0%93%D0%B5%D0% ... 0%B8%D0%B5

Альтернативный способ, без эквилибристики с суммами:
"Introduction To Probability" 2nd Edition by Dimitri P. Bertsekas, John N. Tsitsiklis. Страница 106, пример 2.18.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лемма про математическое ожидание числа испытаний
Сообщение25.04.2023, 14:08 


14/02/20
863
Maxim19
Запишите, какова вероятность, что ваше событие (скажем, $A$), произойдет ровно первым. Потом что ровно вторым. Потом что ровно третьим. Сможете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Лемма про математическое ожидание числа испытаний
Сообщение25.04.2023, 14:13 
Заслуженный участник


18/09/21
1771
Можно рекурсивно.
После первого испытания будет либо событие с вероятностью $p$, либо оно не случится с вероятностью $1-p$.
В первом случае количество испытаний равно $1$.
Во втором случае матожидание количества испытаний до успеха будет $1+M$ (где $M$ - наше матожидание).

Значит само матождание $M=1 \cdot p + (1+M)\cdot(1-p)$, значит $0=1-Mp$, т.е. $M=\frac{1}{p}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лемма про математическое ожидание числа испытаний
Сообщение25.04.2023, 14:15 


31/05/22
267
Вы предлагаете в явном виде математическое ожидание записать? Ну это $\sum\limits_{k=1}^{\infty}(k)(1-p)^{k-1}p$

 Профиль  
                  
 
 Re: Лемма про математическое ожидание числа испытаний
Сообщение25.04.2023, 14:19 


14/02/20
863
Maxim19 в сообщении #1591080 писал(а):
Вы предлагаете в явном виде математическое ожидание записать? Ну это $\sum\limits_{k=1}^{\infty}(k)(1-p)^{k-1}p$

А, то есть вы спрашиваете, как чисто сумму такого ряда посчитать?

Получается, вам нужно посчитать сумму такого ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}nq^{n-1}$.

А вы возьмите $S_k$ (то есть частичную сумму) и $q\cdot S_k$. И посмотрите, как они связаны и можно ли что-то из них получить. Еще понадобится знать, как считается $\sum\limits_{n=0}^{k}q^{n}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Лемма про математическое ожидание числа испытаний
Сообщение25.04.2023, 14:21 


31/05/22
267
zykov
Красиво, всегда были проблемы с выделением зависимости через самого себя. Спасибо

-- 25.04.2023, 14:21 --

artempalkin
Нет-нет, лишь матожидание

 Профиль  
                  
 
 Re: Лемма про математическое ожидание числа испытаний
Сообщение25.04.2023, 14:29 


14/02/20
863
zykov в сообщении #1591078 писал(а):
Можно рекурсивно.

Единственное, а не нужно ли тут сначала доказать, что $M$ конечно? А то бесконечность каким только свойствам не удовлетворяет...

-- 25.04.2023, 14:30 --

Maxim19 в сообщении #1591082 писал(а):
Нет-нет, лишь матожидание

Так чтобы посчитать матожидание вам нужно ряд суммировать

 Профиль  
                  
 
 Re: Лемма про математическое ожидание числа испытаний
Сообщение25.04.2023, 14:32 


31/05/22
267
artempalkin
Нет, достаточно доказать сходимость. А дальше рекурсивно

-- 25.04.2023, 14:33 --

А сходимость уж явно следует из радиуса сходимости степенных рядов

 Профиль  
                  
 
 Re: Лемма про математическое ожидание числа испытаний
Сообщение25.04.2023, 14:34 


14/02/20
863
Maxim19 в сообщении #1591084 писал(а):
Нет, достаточно доказать сходимость. А дальше рекурсивно

Можно и так. Но все же суммировать такой ряд нужно уметь, базовый навык, так сказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лемма про математическое ожидание числа испытаний
Сообщение25.04.2023, 14:37 


31/05/22
267
Вы про такой, который можно представить через дифференцирование первообразной?

 Профиль  
                  
 
 Re: Лемма про математическое ожидание числа испытаний
Сообщение25.04.2023, 14:38 


14/02/20
863
Maxim19 в сообщении #1591086 писал(а):
Вы про такой, который можно представить через дифференцирование первообразной?

Можно и так.

А можно и вот так:

artempalkin в сообщении #1591081 писал(а):
Получается, вам нужно посчитать сумму такого ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}nq^{n-1}$.

А вы возьмите $S_k$ (то есть частичную сумму) и $q\cdot S_k$. И посмотрите, как они связаны и можно ли что-то из них получить. Еще понадобится знать, как считается $\sum\limits_{n=0}^{k}q^{n}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Skipper


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group