2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Лемма про математическое ожидание числа испытаний
Сообщение25.04.2023, 13:25 


31/05/22
267
Здравствуйте, как выводится лемма, что математическое ожидание впервые встретить событие, вероятность в испытании которого $p$ равно $\frac{1}{p}$
Максимум, что я заметил, так это то, что при таком количестве испытаний математическое ожидание выпадения будет единице равно

 Профиль  
                  
 
 Re: Лемма про математическое ожидание числа испытаний
Сообщение25.04.2023, 13:44 


14/02/20
863
Maxim19 в сообщении #1591068 писал(а):
математическое ожидание впервые встретить событие, вероятность в испытании которого $p$ равно $\frac{1}{p}$

Какая лемма? впервые в каком смысле?
Maxim19 в сообщении #1591068 писал(а):
при таком количестве испытаний

При каком количестве?

-- 25.04.2023, 13:46 --

"Математическое ожидание" - это (числовая) характеристика случайной величины. Напишите, пожалуйста, ясно, мат. ожидание какой случайной величины вас интересует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лемма про математическое ожидание числа испытаний
Сообщение25.04.2023, 13:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7139
Maxim19 в сообщении #1591068 писал(а):
что математическое ожидание впервые встретить событие

Вроде тут какое-то слово пропущено. Непонятно, математическое ожидание чего? И вообще, какой эксперимент проводится? Может у нас процесс Пуассона ? Там возникает матожидание экспоненциального распределения .

 Профиль  
                  
 
 Re: Лемма про математическое ожидание числа испытаний
Сообщение25.04.2023, 13:57 


31/05/22
267
Независимые события. Пусть $x_p$ минимальный номер события, на которое появилось событие с вероятностью p(вероятность за испытание). Лемма гласит, что $M(x_p)=1/p$ Как доказать?

-- 25.04.2023, 14:00 --

Если что, это школьная штука. В решении попалась, но никак не могу доказать. При этом нигде объяснения нет

 Профиль  
                  
 
 Re: Лемма про математическое ожидание числа испытаний
Сообщение25.04.2023, 14:05 
Заслуженный участник


23/05/19
1225
Maxim19
https://allll.net/wiki/%D0%93%D0%B5%D0% ... 0%B8%D0%B5

Альтернативный способ, без эквилибристики с суммами:
"Introduction To Probability" 2nd Edition by Dimitri P. Bertsekas, John N. Tsitsiklis. Страница 106, пример 2.18.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лемма про математическое ожидание числа испытаний
Сообщение25.04.2023, 14:08 


14/02/20
863
Maxim19
Запишите, какова вероятность, что ваше событие (скажем, $A$), произойдет ровно первым. Потом что ровно вторым. Потом что ровно третьим. Сможете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Лемма про математическое ожидание числа испытаний
Сообщение25.04.2023, 14:13 
Заслуженный участник


18/09/21
1766
Можно рекурсивно.
После первого испытания будет либо событие с вероятностью $p$, либо оно не случится с вероятностью $1-p$.
В первом случае количество испытаний равно $1$.
Во втором случае матожидание количества испытаний до успеха будет $1+M$ (где $M$ - наше матожидание).

Значит само матождание $M=1 \cdot p + (1+M)\cdot(1-p)$, значит $0=1-Mp$, т.е. $M=\frac{1}{p}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лемма про математическое ожидание числа испытаний
Сообщение25.04.2023, 14:15 


31/05/22
267
Вы предлагаете в явном виде математическое ожидание записать? Ну это $\sum\limits_{k=1}^{\infty}(k)(1-p)^{k-1}p$

 Профиль  
                  
 
 Re: Лемма про математическое ожидание числа испытаний
Сообщение25.04.2023, 14:19 


14/02/20
863
Maxim19 в сообщении #1591080 писал(а):
Вы предлагаете в явном виде математическое ожидание записать? Ну это $\sum\limits_{k=1}^{\infty}(k)(1-p)^{k-1}p$

А, то есть вы спрашиваете, как чисто сумму такого ряда посчитать?

Получается, вам нужно посчитать сумму такого ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}nq^{n-1}$.

А вы возьмите $S_k$ (то есть частичную сумму) и $q\cdot S_k$. И посмотрите, как они связаны и можно ли что-то из них получить. Еще понадобится знать, как считается $\sum\limits_{n=0}^{k}q^{n}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Лемма про математическое ожидание числа испытаний
Сообщение25.04.2023, 14:21 


31/05/22
267
zykov
Красиво, всегда были проблемы с выделением зависимости через самого себя. Спасибо

-- 25.04.2023, 14:21 --

artempalkin
Нет-нет, лишь матожидание

 Профиль  
                  
 
 Re: Лемма про математическое ожидание числа испытаний
Сообщение25.04.2023, 14:29 


14/02/20
863
zykov в сообщении #1591078 писал(а):
Можно рекурсивно.

Единственное, а не нужно ли тут сначала доказать, что $M$ конечно? А то бесконечность каким только свойствам не удовлетворяет...

-- 25.04.2023, 14:30 --

Maxim19 в сообщении #1591082 писал(а):
Нет-нет, лишь матожидание

Так чтобы посчитать матожидание вам нужно ряд суммировать

 Профиль  
                  
 
 Re: Лемма про математическое ожидание числа испытаний
Сообщение25.04.2023, 14:32 


31/05/22
267
artempalkin
Нет, достаточно доказать сходимость. А дальше рекурсивно

-- 25.04.2023, 14:33 --

А сходимость уж явно следует из радиуса сходимости степенных рядов

 Профиль  
                  
 
 Re: Лемма про математическое ожидание числа испытаний
Сообщение25.04.2023, 14:34 


14/02/20
863
Maxim19 в сообщении #1591084 писал(а):
Нет, достаточно доказать сходимость. А дальше рекурсивно

Можно и так. Но все же суммировать такой ряд нужно уметь, базовый навык, так сказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лемма про математическое ожидание числа испытаний
Сообщение25.04.2023, 14:37 


31/05/22
267
Вы про такой, который можно представить через дифференцирование первообразной?

 Профиль  
                  
 
 Re: Лемма про математическое ожидание числа испытаний
Сообщение25.04.2023, 14:38 


14/02/20
863
Maxim19 в сообщении #1591086 писал(а):
Вы про такой, который можно представить через дифференцирование первообразной?

Можно и так.

А можно и вот так:

artempalkin в сообщении #1591081 писал(а):
Получается, вам нужно посчитать сумму такого ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}nq^{n-1}$.

А вы возьмите $S_k$ (то есть частичную сумму) и $q\cdot S_k$. И посмотрите, как они связаны и можно ли что-то из них получить. Еще понадобится знать, как считается $\sum\limits_{n=0}^{k}q^{n}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group