Лемма про математическое ожидание числа испытаний

[Maxim19]

Здравствуйте, как выводится лемма, что математическое ожидание впервые встретить событие, вероятность в испытании которого $p$ равно $\frac{1}{p}$
Максимум, что я заметил, так это то, что при таком количестве испытаний математическое ожидание выпадения будет единице равно

[artempalkin]

Maxim19 в сообщении #1591068 писал(а):

математическое ожидание впервые встретить событие, вероятность в испытании которого $p$ равно $\frac{1}{p}$

Какая лемма? впервые в каком смысле?

Maxim19 в сообщении #1591068 писал(а):

при таком количестве испытаний

При каком количестве?

-- 25.04.2023, 13:46 --

"Математическое ожидание" - это (числовая) характеристика случайной величины. Напишите, пожалуйста, ясно, мат. ожидание какой случайной величины вас интересует.

[мат-ламер]

Maxim19 в сообщении #1591068 писал(а):

что математическое ожидание впервые встретить событие

Вроде тут какое-то слово пропущено. Непонятно, математическое ожидание чего? И вообще, какой эксперимент проводится? Может у нас процесс Пуассона ? Там возникает матожидание экспоненциального распределения .

[Maxim19]

Независимые события. Пусть $x_p$ минимальный номер события, на которое появилось событие с вероятностью p(вероятность за испытание). Лемма гласит, что $M(x_p)=1/p$ Как доказать?

-- 25.04.2023, 14:00 --

Если что, это школьная штука. В решении попалась, но никак не могу доказать. При этом нигде объяснения нет

[Dedekind]

Maxim19
https://allll.net/wiki/%D0%93%D0%B5%D0% ... 0%B8%D0%B5

Альтернативный способ, без эквилибристики с суммами:
"Introduction To Probability" 2nd Edition by Dimitri P. Bertsekas, John N. Tsitsiklis. Страница 106, пример 2.18.

[artempalkin]

Maxim19
Запишите, какова вероятность, что ваше событие (скажем, $A$), произойдет ровно первым. Потом что ровно вторым. Потом что ровно третьим. Сможете?

[zykov]

Можно рекурсивно.
После первого испытания будет либо событие с вероятностью $p$, либо оно не случится с вероятностью $1-p$.
В первом случае количество испытаний равно $1$.
Во втором случае матожидание количества испытаний до успеха будет $1+M$ (где $M$ - наше матожидание).

Значит само матождание $M=1 \cdot p + (1+M)\cdot(1-p)$, значит $0=1-Mp$, т.е. $M=\frac{1}{p}$.

[Maxim19]

Вы предлагаете в явном виде математическое ожидание записать? Ну это $\sum\limits_{k=1}^{\infty}(k)(1-p)^{k-1}p$

[artempalkin]

Maxim19 в сообщении #1591080 писал(а):

Вы предлагаете в явном виде математическое ожидание записать? Ну это $\sum\limits_{k=1}^{\infty}(k)(1-p)^{k-1}p$

А, то есть вы спрашиваете, как чисто сумму такого ряда посчитать?

Получается, вам нужно посчитать сумму такого ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}nq^{n-1}$.

А вы возьмите $S_k$ (то есть частичную сумму) и $q\cdot S_k$. И посмотрите, как они связаны и можно ли что-то из них получить. Еще понадобится знать, как считается $\sum\limits_{n=0}^{k}q^{n}$

[Maxim19]

zykov
Красиво, всегда были проблемы с выделением зависимости через самого себя. Спасибо

-- 25.04.2023, 14:21 --

artempalkin
Нет-нет, лишь матожидание

[artempalkin]

zykov в сообщении #1591078 писал(а):

Можно рекурсивно.

Единственное, а не нужно ли тут сначала доказать, что $M$ конечно? А то бесконечность каким только свойствам не удовлетворяет...

-- 25.04.2023, 14:30 --

Maxim19 в сообщении #1591082 писал(а):

Нет-нет, лишь матожидание

Так чтобы посчитать матожидание вам нужно ряд суммировать

[Maxim19]

artempalkin
Нет, достаточно доказать сходимость. А дальше рекурсивно

-- 25.04.2023, 14:33 --

А сходимость уж явно следует из радиуса сходимости степенных рядов

[artempalkin]

Maxim19 в сообщении #1591084 писал(а):

Нет, достаточно доказать сходимость. А дальше рекурсивно

Можно и так. Но все же суммировать такой ряд нужно уметь, базовый навык, так сказать.

[Maxim19]

Вы про такой, который можно представить через дифференцирование первообразной?

[artempalkin]

Maxim19 в сообщении #1591086 писал(а):

Вы про такой, который можно представить через дифференцирование первообразной?

Можно и так.

А можно и вот так:

artempalkin в сообщении #1591081 писал(а):

Получается, вам нужно посчитать сумму такого ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}nq^{n-1}$.

А вы возьмите $S_k$ (то есть частичную сумму) и $q\cdot S_k$. И посмотрите, как они связаны и можно ли что-то из них получить. Еще понадобится знать, как считается $\sum\limits_{n=0}^{k}q^{n}$