предел отношения

[staric]

$n!$ правильных n-симплексов вписаны в гиперсферу в эвклидовом пространстве размерности $n$ так, что объем их соединения максимален. Стремится ли при $n \to \infty $ отношение этого объема к объему гиперсферы (обозначим это отношение $v_n$, тогда, например, $v_1=1; v_2=\frac{\sqrt{3}}{\pi} $ ) к единице?

[ИСН]

Объём чего максимален?

[svv]

Объём их соединения вместе.
Объединения, короче.

[staric]

Здесь, вроде, объяснено. Например, для $n=3$, имеем соединение 6-ти тетраэдров, если пройти по ссылкам, можно найти еще вариант, или даже покрутить.

[Dendr]

staric в сообщении #1590354 писал(а):

Здесь, вроде, объяснено.

Фу ты... А я зачем-то вписывал в сферу 6 тетраэдров без пересечений - то есть все правильные, но могут быть разного размера. Еще думал, как же там максимизировать. Ну и для $n$-мерия тем более полная петрушка выходила.

Но тогда все идет полегче: пусть гиперсфера - единичная. Дальше больше на пальцах... То есть без подробных выкладок и с несколькими смелыми, но голословными заявлениями. Если вообще не в ту степь, маякните, и в этом направлении копаться перестану.

Объем "тонкого" гипершарового слоя у ее края толщиной $b<<1$, отнесенный к объему, ограниченному самой сферы, $1-(1-b)^n$, если мы хотим свести вместе буквенные величины, можем записать, как $1-e^{-bn}\approx bn$. Мы хотим, чтобы эта величина была малой, тогда должно быть $bn<<1$, то есть толщина слоя меньше по порядку, чем $1\over n$.

Вписываем симплексы, получаем "гипер-ёжика". Впишем уже в него гиперсферу, от единичной гиперсферы она отрезает слой (предполагаем, что он по крайней мере близок к тонкому - если нет, то в любом случае слишком много "свободного места"), от "ёжика" - "иголки". Последних можно принять, как расставленные на поверхности вписанной гиперсферы $n$-симплексы, одной гранью они касаются вписанной сферы, а противолежащие вершины упираются в единичную гиперсферу. Собственно, объем иголок составит $1\over n$ от объема слоя, и ее надо добавить к объему вписанной гиперсферы. Но если слой тонкий, то эта добавка несущественна.

Толщина слоя, в первом порядке величин, равна расстоянию $r<<1$ между вершинами (их $(n+1)!$) наших симплексов, распределенных по единичной гиперсфере. С другой стороны, эти вершины образуют на "гиперповерхности" уже $(n-1)$-симплексы со стороной $r$. Можно считать, что их по порядку величины $n!$ (т.к. $n>>1$, на самом деле это даже несущественно), и их суммарный объем равен вышеупомянутой площади. Используя формулу для этого объема, мы можем определить $r$.

Для четных $n$ у меня получилось, что $b\sim r=O({1\over\sqrt{n}})$. Малая величина по сравнению с радиусом сферы, но недостаточно, чтобы слой назвать "тонким". Объема "иголок" тоже недостаточно, чтобы сократить его, поэтому ответ:

Нет, не стремится.

Вообще из-за большого $n$, можно заметить, что объем вписанной гиперсферы, даже если она "близка" к единичной, стремительно (экспоненциально) падает. То есть, весь объем "сосредотачивается" в гипершаровом слое. "Иголки" отнимают $1\over n$ от него, что тоже мало. Выходит, что $v_n$ вовсе стремится к нулю (?), $n!$ симплексов не хватает, чтобы заполнить гиперсферу хоть насколько (?!). А вот $(n!)^{3/2}$ - вроде уже должно хватить.

[staric]

Вроде, степь та, в смысле, подход работоспособный. С другой стороны, вот это

Dendr в сообщении #1590445 писал(а):

их суммарный объем равен вышеупомянутой площади.

утверждение неочевидно, даже где-то повторяет условие задачи с противоположным результатом. Поэтому оценка

Dendr в сообщении #1590445 писал(а):

Для четных $n$ у меня получилось, что $b\sim r=O({1\over\sqrt{n}})$.

может требовать уточнения.

[ИСН]

Как говорится, "у многомерного арбуза весь объём в корке".