2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 предел отношения
Сообщение17.04.2023, 21:04 


02/09/10
76
$n!$ правильных n-симплексов вписаны в гиперсферу в эвклидовом пространстве размерности $n$ так, что объем их соединения максимален. Стремится ли при $n \to \infty $ отношение этого объема к объему гиперсферы (обозначим это отношение $v_n$, тогда, например, $v_1=1; v_2=\frac{\sqrt{3}}{\pi} $ ) к единице?

 Профиль  
                  
 
 Re: предел отношения
Сообщение18.04.2023, 23:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Объём чего максимален?

 Профиль  
                  
 
 Re: предел отношения
Сообщение19.04.2023, 05:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Объём их соединения вместе.
Объединения, короче.

 Профиль  
                  
 
 Re: предел отношения
Сообщение19.04.2023, 20:20 


02/09/10
76
Здесь, вроде, объяснено. Например, для $n=3$, имеем соединение 6-ти тетраэдров, если пройти по ссылкам, можно найти еще вариант, или даже покрутить.

 Профиль  
                  
 
 Re: предел отношения
Сообщение20.04.2023, 17:10 


02/04/18
240
staric в сообщении #1590354 писал(а):
Здесь, вроде, объяснено.

Фу ты... А я зачем-то вписывал в сферу 6 тетраэдров без пересечений - то есть все правильные, но могут быть разного размера. Еще думал, как же там максимизировать. Ну и для $n$-мерия тем более полная петрушка выходила.

Но тогда все идет полегче: пусть гиперсфера - единичная. Дальше больше на пальцах... То есть без подробных выкладок и с несколькими смелыми, но голословными заявлениями. Если вообще не в ту степь, маякните, и в этом направлении копаться перестану.

Объем "тонкого" гипершарового слоя у ее края толщиной $b<<1$, отнесенный к объему, ограниченному самой сферы, $1-(1-b)^n$, если мы хотим свести вместе буквенные величины, можем записать, как $1-e^{-bn}\approx bn$. Мы хотим, чтобы эта величина была малой, тогда должно быть $bn<<1$, то есть толщина слоя меньше по порядку, чем $1\over n$.

Вписываем симплексы, получаем "гипер-ёжика". Впишем уже в него гиперсферу, от единичной гиперсферы она отрезает слой (предполагаем, что он по крайней мере близок к тонкому - если нет, то в любом случае слишком много "свободного места"), от "ёжика" - "иголки". Последних можно принять, как расставленные на поверхности вписанной гиперсферы $n$-симплексы, одной гранью они касаются вписанной сферы, а противолежащие вершины упираются в единичную гиперсферу. Собственно, объем иголок составит $1\over n$ от объема слоя, и ее надо добавить к объему вписанной гиперсферы. Но если слой тонкий, то эта добавка несущественна.

Толщина слоя, в первом порядке величин, равна расстоянию $r<<1$ между вершинами (их $(n+1)!$) наших симплексов, распределенных по единичной гиперсфере. С другой стороны, эти вершины образуют на "гиперповерхности" уже $(n-1)$-симплексы со стороной $r$. Можно считать, что их по порядку величины $n!$ (т.к. $n>>1$, на самом деле это даже несущественно), и их суммарный объем равен вышеупомянутой площади. Используя формулу для этого объема, мы можем определить $r$.

Для четных $n$ у меня получилось, что $b\sim r=O({1\over\sqrt{n}})$. Малая величина по сравнению с радиусом сферы, но недостаточно, чтобы слой назвать "тонким". Объема "иголок" тоже недостаточно, чтобы сократить его, поэтому ответ:

Нет, не стремится.

Вообще из-за большого $n$, можно заметить, что объем вписанной гиперсферы, даже если она "близка" к единичной, стремительно (экспоненциально) падает. То есть, весь объем "сосредотачивается" в гипершаровом слое. "Иголки" отнимают $1\over n$ от него, что тоже мало. Выходит, что $v_n$ вовсе стремится к нулю (?), $n!$ симплексов не хватает, чтобы заполнить гиперсферу хоть насколько (?!). А вот $(n!)^{3/2}$ - вроде уже должно хватить.

 Профиль  
                  
 
 Re: предел отношения
Сообщение21.04.2023, 08:01 


02/09/10
76
Вроде, степь та, в смысле, подход работоспособный. С другой стороны, вот это
Dendr в сообщении #1590445 писал(а):
их суммарный объем равен вышеупомянутой площади.

утверждение неочевидно, даже где-то повторяет условие задачи с противоположным результатом. Поэтому оценка
Dendr в сообщении #1590445 писал(а):
Для четных $n$ у меня получилось, что $b\sim r=O({1\over\sqrt{n}})$.
может требовать уточнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: предел отношения
Сообщение22.04.2023, 03:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Как говорится, "у многомерного арбуза весь объём в корке".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group