ВТФ Доказательство клёвое весеннее

[Elfhybr]

Rak so dna в сообщении #1589433 писал(а):

Да ну нет же, в целом они, как и все прочие, пишут примерно одно и то-же. Опубликованное доказательство Эйлера содержит ошибку, о которой уже упоминалось. Ошибка эта фундаментальная, но не критичная и её удалось исправить, использовав всю ту же идею Эйлера и потому все сходятся на том, что именно Эйлер доказал ВТФ для кубов. И это доказательство не элементарно.

Далее, чисто интуитивно или по косвенным признакам, основываясь как я понимаю на том, что Эйлер заявил о доказательстве около 1753 г а опубликовал его около 1770 г, предполагают, что первоначальное его доказательство отличалось от опубликованного и было элементарно. Но этого доказательства естественно никто не видел и по другим работам Эйлера лишь предполагают какие идеи он мог использовать, и тут ни о каких ошибках Эйлера речи нет.

Еще раз. Когда говорят об ошибке или о пробеле Эйлера, имеют ввиду его не элементарное доказательство. На всякий случай уточню, что "простое доказательство" и "элементарное доказательство" — это совершенно разные понятия. Может это вас путает.

Что касается элементарного доказательства (именно его мы обсуждали с Shadow), то его, судя по всему, удалось восстановить Ю.Ю.Мачису 2005-2007 гг. Странно только то, что это событие (а для ферматиков оно по значимости куда больше чем полное доказательство ВТФ) не упоминается нигде от слова совсем (хотя ссылка в Википедии имеется).

Огромное спасибо, всё очень понятно разъяснили. Похоже всё стало на свои места. Действительно, непонятно почему доказательство Ю.Ю. Мачиса прошло так незаметно. Возможно после Уайлза к ВТФ интерес сильно поубавился, как и количество людей, ещё интересующихся ВТФ. Ведь, как я понимаю, это в общем-то математическая задача- головоломка , которая волею судеб и благодаря некоторым историческим событиям приобрела исключительную роль в развитии современной теории чисел. И особого практического применения она не имеет. Или это не так?

[mathematician123]

Elfhybr в сообщении #1589446 писал(а):

Действительно, непонятно почему доказательство Ю.Ю. Мачиса прошло так незаметно.

Потому что оно не содержит никаких новых идей. По-моему, доказательство Мачиса - это почти копия доказательства Эдвардса, с той лишь разницей, что Мачис намеренно избегает использования комплексных чисел. Мачис в конце статьи так и говорит: "Очевидным также становится ответ на вопрос, почему здесь столь удобны ком-
плексные числа."

[Rak so dna]

mathematician123 да это всё понятно. Но все же, имхо, стоит указать хотя бы о самом факте существования такого элементарного доказательства, пусть и не представляющего никакого теоретического интереса (особенно ввиду заявлений Постникова об отсутствии такового).

Elfhybr в сообщении #1589446 писал(а):

Ведь, как я понимаю, это в общем-то математическая задача- головоломка , которая волею судеб и благодаря некоторым историческим событиям приобрела исключительную роль в развитии современной теории чисел. И особого практического применения она не имеет. Или это не так?

Именно так.

[Elfhybr]

Rak so dna в сообщении #1589458 писал(а):

Именно так.

Огромное спасибо! По моему разобрались в интереснейшей теме. Получилось очень увлекательно.

[Shadow]

Rak so dna в сообщении #1589433 писал(а):

Что касается элементарного доказательства (именно его мы обсуждали с Shadow), то его, судя по всему, удалось восстановить Ю.Ю.Мачису 2005-2007 гг.

$a^2+3b^2=(p^2+3q^2)^3\quad \eqno(1)$

$a=p^3-9pq^2, b=3p^2q-3q^3\quad \eqno(2)$

Если рассматривать $(1)$ как уравнение относительно $a,b$, тоесть $p,q$ заданы, ищем $a,b$, то $(2)$ будет одно из решений данного уравнения-несомненно.
Но в нашем случае нужно решить обратную задачу: Если целые числа $a,b$ таковы, что $a^2+3b^2$ является кубом, то существует, причем единственная пара целых $p,q$, удовлетворяющая $(2)$
(Единственость не обязательна для доказательства ВТФ, но она есть).
Что предлагает автор в качестве доказательствa /алгоритма нахождения $p,q$/



Возмем, например число $A^3=(7\cdot 13)^3$. Существуют две пары взаимнопротых натуральных чисел $(a,b)$, такие, что $a^2+3b^2=(7 \cdot 13)^3$

А именно $(136,495)$ и $(836,135)$. Если брать и отрицательных - то восемь ну ладно, ограниччимся этими.
И я требую от алгоритма, чтобы когда я подам на вход $a=136,b=495$, он вывел $p=-8,q=3$
А когда подам $a=836,b=135$, на выход получить $p=-4,q=-5$
- Единственные $p,q$ удовлетворяющие $(2)$.

И что предлагает автор - немедленно забыть про конкретных значениях $a,b$ и работать только с числом $a^2+3b^2$ - разлагать на простые, потом перемножать и т.д.
А это означат, что в вышеописанных двух случаях, он получит один и тот же вход -число $753571$ и соответственно и выход будет один и тот же. А не должен.

Будем перемножать...но как? Автор говорит все равно как. Но при умножении есть неоднозначность. При каждом умножении есть два варианта результата для $p_i,q_i$ - там со знаком плюс либо со знаком минус. Какой выбрать?
Тоесть, если нужно совершить $k$ умножений, то в зависимость от каждого выбора получим $2^k$ различных пар $(p,q)$. Все они будут удовлетворять $(1)$, но какая из них удовлетворит $(2)$? - непонятно. Существует ли она? - непонятно.

(Оффтоп)

Мне кажется, что не умножать надо, а делить. На простые. По описанному в двух работах алгоритму нахождения $u,v$ при заданных $a,b,P$ - там есть однозначность, а главное результат завсит от конктерных знаечениях $a,b$, а не толко от $a^2+3b^2$. Типа если то делится на $P$, то так, а если другое - то иначе. Может что-то и получится.

[Shadow]

Shadow в сообщении #1589519 писал(а):

И я требую от алгоритма, чтобы когда я подам на вход $a=136,b=495$, он вывел $p=-8,q=3$
А когда подам $a=836,b=135$, на выход получить $p=-4,q=-5$

Shadow в сообщении #1589519 писал(а):

Мне кажется, что не умножать надо, а делить. На простые. По описанному в двух работах алгоритму нахождения $u,v$ при заданных $a,b,P$

Кажется получилось:)

$a^2+3b^2=A^3=(u^2+3v^2)^3 \Longrightarrow$

$u^2+3v^2=\dfrac{a^2+3b^2}{A^2}$

Теперь делить два раза на $7$ и два раза на $13$ и получать новые $u,v$ по правилу:

Если $P \mid pb+aq$, то $u=\dfrac{pa-3qb}{P},v=\dfrac{pb+aq}{P}$

Если $P \mid pb-aq$, то $u=\dfrac{pa+3qb}{P},v=\dfrac{pb-aq}{P}$



Причем порядок при делении не имеет значиение - результат такой же, проверял. Случайность? Но все равно доказательстом быть не может.

[Rak so dna]

Shadow вроде однозначность разложения (в смысле выбора знаков $q_i$) гарантируется утверждением 5. Хотя конечно, все это надо проверить. Будет время — проделаю все это на вашем примере и отпишусь.

-- 13.04.2023, 17:32 --

Итак, раскладываем $136^2+3\cdot495^2=(7\cdot13)^3$

$7=p^2+3q^2=(\pm2)^2+3\cdot(\pm1)^2$
Согласно утверждения 5, знак $p$ выбираем всегда $+$, знак $q$ выбираем такой, что бы $pb-aq$ делилось на $p^2+3q^2$. Отсюда $p=2$, $q=1$. Аналогично получаем $13=1^2+3\cdot(-2)^2$.
Поэтому
$(7\cdot13)^3=\left((2^2+3\cdot1^2)(1^2+3\cdot(-2)^2)\right)^3=$
$=\left(8^2+3\cdot(-3)^2\right)^3=(-136)^2+3\cdot(-495)^2$

Аналогично
$836^2+3\cdot135^2=\left((2^2+3\cdot(-1)^2)(1^2+3\cdot(-2)^2)\right)^3=$
$=\left((-4)^2+3\cdot(-5)^2\right)^3=836^2+3\cdot135^2$

Надеюсь, нигде не наврал.

[Shadow]

Rak so dna, да вы правы. Тоесть, при разложение на простые $a^2+3b^2$ не тупо разлагается, забыв про конкретных значения $a,b$, а каждое простое представляется как $p^2+3(\pm q^2)$
и это $\pm$ очень даже зависит от $a,b$. Теперь, дошло, спасибо. Сами понимаете, текст не простой.

[Elfhybr]

Shadow в сообщении #1589638 писал(а):

Rak so dna, да вы правы. Тоесть, при разложение на простые $a^2+3b^2$ не тупо разлагается, забыв про конкретных значения $a,b$, а каждое простое представляется как $p^2+3(\pm q^2)$
и это $\pm$ очень даже зависит от $a,b$. Теперь, дошло, спасибо. Сами понимаете, текст не простой.

Можно сказать, что консенсус найден и все согласны с заключительными словами Ю.Ю. Мачиса?

"...Поскольку и в остальном доказательство элементарно, то тем самым, возможно,
восстановлено предполагаемое доказательство Эйлера теоремы Ферма для $n = 3.$..."

[Elfhybr]

mathematician123 в сообщении #1589455 писал(а):

Потому что оно не содержит никаких новых идей. По-моему, доказательство Мачиса - это почти копия доказательства Эдвардса, с той лишь разницей, что Мачис намеренно избегает использования комплексных чисел. Мачис в конце статьи так и говорит: "Очевидным также становится ответ на вопрос, почему здесь столь удобны ком-
плексные числа."

Доказательство Мачиса ведь и преследует цель показать правильное первоначальное доказательство Эйлера, без использования комплексных числел. Развет не так. А про комплексные числа в ней говорится, не в плане того, что с ними доказательство короче?

[mathematician123]

Elfhybr
Я думаю, если у Эйлера и было полное доказательство ВТФ3, то оно отличалось от доказательств Эдвардса и Мачиса.

Единственное опубликованное доказательство Эйлера содержит пробел: ключевая лемма о том, что из $a^2 + 3b^2 = c^3$ при взаимнопростых $a, b$ следует, что $a + \sqrt{-3}b = (x + y\sqrt{-3})^3$ не была доказана. А в доказательствах Эдвардса и Мачиса эта лемма доказана. Если предполагаемое доказательство Эйлера было аналогично доказательству Эдвардса или Мачиса, то Эйлер должен был понимать необходимость доказательства ключевой леммы. Тогда совершенно непонятно, почему позже он публикует доказательство ВТФ3, где эта лемма просто используется без доказательства. Логичнее предположить, что если у Эйлера и было доказательство ВТФ3, то оно было основано на совсем других идеях.

[Elfhybr]

mathematician123 в сообщении #1589736 писал(а):

Если предполагаемое доказательство Эйлера было аналогично доказательству Эдвардса или Мачиса

Информацию о другом более раннем доказательстве я брал у Эдвардса. Вот как звучит у него эта фраза:
"...тех идей, которые Эйлер использовал в более ранней работе, достаточно для доказательства необходимой леммы о кубах вида $a^2 + 3y^2$..."
То есть как я понимаю, эти идеи и реализовали Эдвардс и Мачис. Или не так?

[Rak so dna]

mathematician123 в сообщении #1589736 писал(а):

Единственное опубликованное доказательство Эйлера содержит пробел: ключевая лемма о том, что из $a^2 + 3b^2 = c^3$ при взаимнопростых $a, b$ следует, что $a + \sqrt{-3}b = (x + y\sqrt{-3})^3$ не была доказана. А в доказательствах Эдвардса и Мачиса эта лемма доказана. Если предполагаемое доказательство Эйлера было аналогично доказательству Эдвардса или Мачиса, то Эйлер должен был понимать необходимость доказательства ключевой леммы. Тогда совершенно непонятно, почему позже он публикует доказательство ВТФ3, где эта лемма просто используется без доказательства. Логичнее предположить, что если у Эйлера и было доказательство ВТФ3, то оно было основано на совсем других идеях.

Просто вы априори знаете о природе ошибки Эйлера. Он же этого не знал. Давайте на секунду поверим, что первое доказательство Эйлера совпадает с Мачисом. Отбросив всю шелуху, видим, что природа всех свистоплясок вокруг $\pm$ в этом доказательстве, заключается в дуальности замечательного тождества $(a^2+3b^2)(c^2+3d^2)=(ac\mp 3bd)^2+3(ad\pm bc)^2$. Всю элегантность доказательства портят постоянные "то плюс, то минусы" в казалось бы одинаковых местах. Видимо в этот момент Эйлер осознает важнейший постулат

Утундрий в сообщении #1573355 писал(а):

Но не может быть то плюс, то минус!

И ему в голову приходит та самая идея:

$a^2+3b^2=(a+b\sqrt{-3})(a-b\sqrt{-3})=r^3 \Rightarrow$

$\Rightarrow a+b\sqrt{-3}=(p+q\sqrt{-3})^3=(p^3-9pq^2)+(3p^2q-3q^3)\sqrt{-3} \Rightarrow$

$\Rightarrow a=p^3-9pq^2,\quad b=3p^2q-3q^3$

И три страницы искусственного, вымученного текста превращаются в три строчки красивейшего доказательства.

[Elfhybr]

Rak so dna в сообщении #1589783 писал(а):

превращаются в три строчки красивейшего доказательства.

Звучит, как музыка!

[Elfhybr]

Rak so dna в сообщении #1589122 писал(а):

Вы не поняли ни того что писал mathematician123, ни того что писал я. Ваше "доказательство из сети" и есть случай $K(1)=1$. Почитайте точную формулировку ABC гипотезы.

А если так: Для любого действительного k>0 существует зависящая от k константа C(k) такая, что уже вообще для всех взаимно простых a, b, c
a+b=c
$c\leq C(k)rad(abc)^{1+k}$
Слабые формулировки гипотезы утверждают, что неравенство выполняется для конкретных k и конкретных констант. Одна из слабых, но важных формулировок гипотезы утверждает, что для k=1 константа C(k) тоже равна 1, и поэтому
$c\leq$ rad(abc)^2$.
В этом виде гипотеза прямо утверждает, что сумма чисел, являющихся произведением простых в больших степенях не может быть произведением простых чисел в больших степенях.
Доказательство. От противного: пусть $x^n + y^n = z^n$ для некоторых натуральных чисел x, y, z и n > 2. По лемме об уравнении $x^n + y^n = z^n$ можно считать, что НОД(x, y)=1. Тогда, числа $ x^n$ и $y^n$ тоже взаимно просты, и обозначив $a = x^n$, $b = y^n$ , $c = z^n$ получим abc-тройку $ a+b=c$, для которой, согласно $(abc)^2$-гипотезе, выполняется цепочка неравенств:
$z^n = c < r(abc)^2 = r(x^ny^nz^n)^2 = r(xyz)^2 < (z^3)^2 = z^6$.

И что здесь не так?