ВТФ Доказательство клёвое весеннее

[Rak so dna]

Elfhybr такое ощущение, что вы вообще не понимаете о чем пишете. Пробел Эйлера состоял в том, что он необоснованно перенес некоторые свойства целых чисел на числа вида $a+b\sqrt{-3}$. Вы что, в обсуждаемой работе где-то увидели такие числа?

Elfhybr в сообщении #1589292 писал(а):

И что вы вообще думаете о возможности исправления этого пробела?

В этом и проявилась гениальность догадки Эйлера. Исправление этого пробела привело к появлению алгебраической теории чисел.

[Elfhybr]

Rak so dna в сообщении #1589322 писал(а):

Elfhybr такое ощущение, что вы вообще не понимаете о чем пишете. Пробел Эйлера состоял в том, что он необоснованно перенес некоторые свойства целых чисел на числа вида $a+b\sqrt{-3}$. Вы что, в обсуждаемой работе где-то увидели такие числа?

Очень вы категоричны в своих заявлениях. У Эдвардса сказано, что Эйлер необоснованно перенес некоторые свойства целых чисел на числа вида $a+b\sqrt{-3}$, выбрав этот путь как более элегантный и отказавшись от тех идей которые были в более ранней работе и которых было достаточно для полноценного доказательства. в обсуждаемой работе и делается попытка восстановить полноту раннего доказательства Эйлера. Но Shadow пишет, что не увидел в этой работе правильного итога. Вы с ним не согласны, как я понял. Идет дискуссия. Или не так?

[Rak so dna]

Elfhybr да, я не вижу ошибок в приведенном доказательстве.

Elfhybr в сообщении #1589334 писал(а):

которых было достаточно для полноценного доказательства. в обсуждаемой работе и делается попытка восстановить полноту раннего доказательства Эйлера.

Вот именно. Ни о каких исправлениях речь не идет, поскольку Эйлер не публиковал именно этого, предполагаемого элементарного доказательства, которым, похоже, он все-таки обладал.

Elfhybr в сообщении #1589334 писал(а):

Но Shadow пишет, что не увидел в этой работе правильного итога.

Это его дело. Пока не указана конкретная ошибка или пробел в доказательстве, обсуждать нечего, поэтому дискуссия приостановилась.

[Elfhybr]

Rak so dna в сообщении #1589322 писал(а):

В этом и проявилась гениальность догадки Эйлера. Исправление этого пробела привело к появлению алгебраической теории чисел.

Величайших заслуг Эйлера никто не умаляет. Речь идет о формальной стороне дела.
Ситуация очень схожая с доказательством Уайлза.
У него был фундаментальный пробел в доказательстве и у Эйлера в единственном доказательстве, опубликованном в "Алгебре" (1770) был фундаментальный пробел.
Уайлз при поддержке Тейлора смог устранить пробел и получил полное доказательство.
А Эйлер этого не сделал. Сам не увидел, коллеги не подсказали.
Формально получается Эйлер не доказал ВТФ для 3 степени. Но есть в его работах первоначальное доказательство, которое если подкорректировать с учетом его же идей, то получиться элементарное доказательство для 3 степени, без всяких чисел вида $a+b\sqrt{-3}$. Вопрос, кто первый из математиков провел этот анализ и опубликовал подкорректированное то самое первоначальное доказательство Эйлера? Вы может его назвать? Ил никто досконально этим не занимался, просто высказался в общем смысле, что в первоначальной работе Эйлер привел достаточно инструментов, с помощью которых всё отлично доказывается, чего там ковыряться и так всё ясно.

[Rak so dna]

Elfhybr в сообщении #1589339 писал(а):

Ситуация очень схожая с доказательством Уайлза.

Вообще ни разу не схожа. Уайлзу указали на ошибку на этапе рецензии (причем по началу он вообще не признавал её). Ошибку Эйлера обнаружили лишь спустя несколько десятилетий — настолько она была не очевидной. Исправление ошибки Уайлза не привело ни к каким прорывам в математике, лишь сократила его работу с 200 до 130 страниц. Исправление ошибки Эйлера имело решающие последствия для всей математики.

Elfhybr в сообщении #1589339 писал(а):

Формально получается Эйлер не доказал ВТФ для 3 степени.

Да, формально не доказал. Точно так-же как и Уайлз, который доказал часть гипотезы Таниямы-Шимуры, причем не единолично.

Elfhybr в сообщении #1589339 писал(а):

Но есть в его работах первоначальное доказательство, которое если подкорректировать с учетом его же идей, то получиться элементарное доказательство для 3 степени, без всяких чисел вида $a+b\sqrt{-3}$.

Вы сможете это обосновать, или опять все сведётся к "я так понял" ?

Elfhybr в сообщении #1589339 писал(а):

Вопрос, кто первый из математиков провел этот анализ и опубликовал подкорректированное то самое первоначальное доказательство Эйлера? Вы может его назвать?

Не знаю, не могу.

Вообще у меня стойкое впечатление, что вас интересует не сама ВТФ, а история ее доказательства. Неужели трудно нагуглить подходящие источники?

[пианист]

Rak so dna в сообщении #1589345 писал(а):

Да, формально не доказал.

Я все-таки считаю, что доказал. Промежуточная лемма не была доказана, да, но она была верна. Пробел принципиального значения не имел и легко закрывался с использованием тех же средств, что и остальное доказательство Эйлера. Вот если бы лемма оказалась ошибочной, или же ее доказательство выходило бы за рамки, тогда да.

Elfhybr в сообщении #1589339 писал(а):

Вопрос, кто первый из математиков провел этот анализ и опубликовал подкорректированное то самое первоначальное доказательство Эйлера?

Откуда вообще инфа, что у Эйлера было какое-то другое доказательство?

[Elfhybr]

Rak so dna в сообщении #1589345 писал(а):

Вы сможете это обосновать, или опять все сведётся к "я так понял" ?

Эдвардс в своей книге намекает: "тех идей, которые Эйлер использовал в более ранней работе, достаточно для доказательства необходимой леммы о кубах вида $x^2+3y^2$"

-- 12.04.2023, 14:14 --

Rak so dna в сообщении #1589345 писал(а):

Вообще ни разу не схожа. Уайлзу указали на ошибку на этапе рецензии (причем по началу он вообще не признавал её). Ошибку Эйлера обнаружили лишь спустя несколько десятилетий — настолько она была не очевидной. Исправление ошибки Уайлза не привело ни к каким прорывам в математике, лишь сократила его работу с 200 до 130 страниц. Исправление ошибки Эйлера имело решающие последствия для всей математики.

В доказательстве Уайлза, которое с грехом пополам понимали от силы два десятка математиков фундаментальный пробел вполне очевиден. А в практически элементарном доказательстве Эйлера такой неочевидный фундаментальный пробел, что только через несколько десятилетий это стало ясно. Вам не кажется, что такое заявление выглядит по крайней мере странно...

-- 12.04.2023, 14:17 --

Rak so dna в сообщении #1589345 писал(а):

Вообще у меня стойкое впечатление, что вас интересует не сама ВТФ, а история ее доказательства. Неужели трудно нагуглить подходящие источники?

И эта сторона тоже. Гуглил. Но если Рибенбойм и Эдвардс не дают однозначного ответа, что может предложить Гугл...

[Rak so dna]

Elfhybr в сообщении #1589348 писал(а):

Вам не кажется, что такое заявление выглядит по крайней мере странно...

Единственное, что мне кажется, так это то, что я зря трачу на вас своё время.

[Elfhybr]

пианист в сообщении #1589346 писал(а):

Откуда вообще инфа, что у Эйлера было какое-то другое доказательство?

от Эдвардса. стр 56, 57, 63

-- 12.04.2023, 14:31 --

Rak so dna в сообщении #1589350 писал(а):

Единственное, что мне кажется, так это то, что я зря трачу на вас своё время.

Ваше право, я задал достаточно простой вопрос вам, как человеку, похоже имеющему самое непосредственное отношение к математике. Вы только подтвердили, что официально опубликованное доказательство Эйлера ошибочно. Кто из математиков первым исправил эту ошибку и было ли это сделано официально, вы не знаете. Как я понял, причина в том что эта сторона вопроса вас совершенно не интересует Спасибо за дискуссию. Было интересно.

-- 12.04.2023, 14:55 --

Rak so dna в сообщении #1589345 писал(а):

Вообще ни разу не схожа. Уайлзу указали на ошибку на этапе рецензии (причем по началу он вообще не признавал её). Ошибку Эйлера обнаружили лишь спустя несколько десятилетий — настолько она была не очевидной. Исправление ошибки Уайлза не привело ни к каким прорывам в математике, лишь сократила его работу с 200 до 130 страниц. Исправление ошибки Эйлера имело решающие последствия для всей математики.

P.S. По видимому авторитет Эйлера был настолько непререкаем, что никому в голову не пришло с глубоким пристрастием проверить доказательство, приняли на "веру".

-- 12.04.2023, 14:58 --

пианист в сообщении #1589346 писал(а):

Я все-таки считаю, что доказал. Промежуточная лемма не была доказана, да, но она была верна. Пробел принципиального значения не имел и легко закрывался с использованием тех же средств, что и остальное доказательство Эйлера. Вот если бы лемма оказалась ошибочной, или же ее доказательство выходило бы за рамки, тогда да.

Так же примерно высказывается и Эдвардс. Повторюсь:
Эдвардс в своей книге намекает: "тех идей, которые Эйлер использовал в более ранней работе, достаточно для доказательства необходимой леммы о кубах вида $x^2+3y^2$"

[пианист]

Elfhybr в сообщении #1589352 писал(а):

от Эдвардса. стр 56, 57, 63

Не нашел, ну и фих с ним.
Буду иметь в виду, что оно где-то там есть.

[Elfhybr]

пианист в сообщении #1589355 писал(а):

Не нашел, ну и фих с ним.
Буду иметь в виду, что оно где-то там есть.

Вот же я цитирую его со стр 67:
Эдвардс в своей книге намекает: "тех идей, которые Эйлер использовал в более ранней работе, достаточно для доказательства необходимой леммы о кубах вида $x^2+3y^2$
Или вы не об этом?

[Rak so dna]

М.М.Постников "Теорема Ферма". На с.10 автор пишет, что элементарного доказательства ВТФ нет ни для одного $n\neq4$. Поэтому заявление Эдвардса:

Elfhybr в сообщении #1589358 писал(а):

тех идей, которые Эйлер использовал в более ранней работе, достаточно для доказательства необходимой леммы о кубах вида $x^2+3y^2$

как минимум странно. Если бы это было так, то элементарное доказательство было бы давно известно. Либо он имеет ввиду какие-то другие не элементарные идеи?

(Оффтоп)

Я конечно, оригинальных источников не читал, но никогда не поверю, что "Эйлер всерьез путает необходимые и достаточные условия". Даже толковые школьники их не путают.

[Elfhybr]

Shadow в сообщении #1589125 писал(а):

Нет, доказательство полноты двухпараметрического решения я не вижу - основная проблема доказательства Эйлера. Какая-то муть из общеизвестных фактов, большинсто из них известные благодаря Эйлеру - напр. вряд ли Эйлер не знал, что при нечетных $a,b\;\; a^3+3b^2 \equiv 4 \pmod 8$. А доказательство утверждения 6 - полный бред.
Так что не думаю.

Похоже Рибенбойм разделяет вашу точку зрения:
в главе 1.4 Кубическое уравнение он пишет, что Эйлер нашел доказательство ВТФ для степени, но в результате критического изучения доказательства был обнаружен важный пробел, связанный со свойствами тех самых чисел $ a^2+3b^2$.
Далее Пепен, Шумахер анализировали эту проблему. Потом у Рибенбойма звучит странная фраза, что в 1901 году Ландау предложил строгое доказательство, Холден (1906 г.). А в итоге Рибенбойм пишет что аж в 1972 году Р. Лежандр указал, что рассуждения Эйлера были несовершенными. И это всё про доказательство Эйлера.
Далее переходит к доказательству ВТФ для 3 степени, а потом на стр 47 приводит таблицу со списком авторов, опубликовавших доказательство ВТФ для 3 степени.
Фамилий Эйлера и Ландау там нет.
Первым стоит Кауслер (1795/6, опубл. в 1802), далее Лежандр (822, 1830), Кальцолари (1855)....
То ли он не упомянул Эйлера, как автора самого первого доказательства, то ли...

-- 12.04.2023, 18:55 --

Rak so dna в сообщении #1589379 писал(а):

как минимум странно. Если бы это было так, то элементарное доказательство было бы давно известно. Либо он имеет ввиду какие-то другие не элементарные идеи?
(Оффтоп)

Спасибо за подсказку. Про Постникова я запамятовал. Согласен у Эдвардса очень много странных фраз об Эйлере и его доказательстве. Вот это меня и удивило и хотелось всё-таки добраться до истины...

[Elfhybr]

Rak so dna в сообщении #1589379 писал(а):

М.М.Постников "Теорема Ферма". На с.10 автор пишет, что элементарного доказательства ВТФ нет ни для одного $n\neq4$.

Удивительно, Постников упрямо настаивает, что нет элементарного доказательства ни для одного $n\neq4$ аж на двух страницах 8 и 10.
Про доказательство Эйлера делает такое заявление:
"...Собственно, говоря, доказательство Эйлера было дефектным он без всякого обоснования перенес на числа вида $a+b\sqrt{-3}$ рассуждения, эксплуатировавшиеся до этого лишь в области целых чисел. Например, он пользовался для этих чисел простейшими фактами теории делимости, никак это не оправдывая.
Первым, кто построил арифметику этих чисел и, тем самым, подвел под рассуждения Эйлер надежный фундамент, был, по-видимому, Гаусс."

Получается у Постникова приговор доказательству Эйлера ещё более жестокий, чем у Эдвардса. Доказательство не элементарно и ошибочно.
Вот такая детективная история нарисовывается.

-- 12.04.2023, 20:25 --

Rak so dna в сообщении #1589379 писал(а):

Если бы это было так, то элементарное доказательство было бы давно известно. Либо он имеет ввиду какие-то другие не элементарные идеи?

Надо ещё раз повнимательнее посмотреть эту часть у Эдвардса, может быть я что-нибудь упустил или не так понял...

[Rak so dna]

Elfhybr в сообщении #1589403 писал(а):

Получается у Постникова приговор доказательству Эйлера ещё более жестокий, чем у Эдвардса. Доказательство не элементарно и ошибочно.

Да ну нет же, в целом они, как и все прочие, пишут примерно одно и то-же. Опубликованное доказательство Эйлера содержит ошибку, о которой уже упоминалось. Ошибка эта фундаментальная, но не критичная и её удалось исправить, использовав всю ту же идею Эйлера и потому все сходятся на том, что именно Эйлер доказал ВТФ для кубов. И это доказательство не элементарно.

Далее, чисто интуитивно или по косвенным признакам, основываясь как я понимаю на том, что Эйлер заявил о доказательстве около 1753 г а опубликовал его около 1770 г, предполагают, что первоначальное его доказательство отличалось от опубликованного и было элементарно. Но этого доказательства естественно никто не видел и по другим работам Эйлера лишь предполагают какие идеи он мог использовать, и тут ни о каких ошибках Эйлера речи нет.

Еще раз. Когда говорят об ошибке или о пробеле Эйлера, имеют ввиду его не элементарное доказательство. На всякий случай уточню, что "простое доказательство" и "элементарное доказательство" — это совершенно разные понятия. Может это вас путает.

Что касается элементарного доказательства (именно его мы обсуждали с Shadow), то его, судя по всему, удалось восстановить Ю.Ю.Мачису 2005-2007 гг. Странно только то, что это событие (а для ферматиков оно по значимости куда больше чем полное доказательство ВТФ) не упоминается нигде от слова совсем (хотя ссылка в Википедии имеется).