Влияние нелинейности на выбор нулевого приближения

[Утундрий]

Рассмотрим модельное уравнение

$$Du=u^3 \eqno (1)$$

где $D$ - некоторый линейный дифференциальный оператор. Предположим также, что уравнение "нулевого приближения" $Dv=0$ имеет всюду ограниченное решение. Меня интересуют всюду ограниченные решения исходного уравнения, качественно не сильно отличающиеся от $v$. Для этого я составляю следующий ряд

$$u=\varepsilon v+\varepsilon^{\alpha} a+\varepsilon^{\beta} b +...\eqno (2)$$

где $1<\alpha<\beta<...$, а $\varepsilon$ - малое, но конечное положительное число.

Далее я подставляю $(2)$ в $(1)$ и приравниваю нулю члены при одинаковых степенях $\varepsilon$, что даёт мне цепочку уравнений. Точнее, даст, как только я определю, чему равны $\alpha, \beta, ... $

Так вот, оказывается, что
дополнительное требование, чтобы цепочка разрешалась относительно $v, a, b ,... $строго последовательно, однозначно определяет показатели степеней:$\alpha=3, \ \beta=5,\ ... $

Таким образом, получается решение в виде

$$u=\varepsilon v+\varepsilon^{3} a+\varepsilon^{5} b +...\eqno (3)$$

где $v, a, b ,... $ всюду ограничены.

Интересно, что последнее условие ограниченности коэффициентов разложения вида $(3)$ приводит (для более сложных систем с кубической нелинейностью) к некоторым своеобразным ограничениям на нулевое приближение. Я уже не могу брать произвольное, лишь бы ограниченное $v$!

Сталкивались ли вы когда-либо со столь забавной ситуацией?

[Утундрий]

На первую часть вопроса можно посмотреть и с такой стороны. Соберём все показатели степеней $\varepsilon$ разложения $(2)$ в множество $P$. Обозначим $P_3$ множество всех сумм любых трёх элементов множества $P$. Тогда естественно требовать $P_3 \subset P$. Действительно, если это не так, то в правой части $(1)$ будут появляться степени, отсутствующие в левой; что приведёт к полнейшему хаосу при определении коэффициентов разложения. Но тогда, из одного только факта наличия в $P$ единицы, мгновенно следует наличие в нём и всех нечётных чисел. В принципе, этим можно и ограничиться, если уравнение не против (а уравнение не против).

По этой части замечаний нет?

[mihiv]

А какому значению $\varepsilon $ соответствует функция "нулевого приближения"? Или этот вопрос не имеет смысла?

[Утундрий]

mihiv в сообщении #1587359 писал(а):

А какому значению $\varepsilon $ соответствует функция "нулевого приближения"? Или этот вопрос не имеет смысла?

Они, как бы, в паре играют. Смысл имеет только произведение $\varepsilon v$.

[Утундрий]

Или такой заход. Идея в том, чтобы "расщепить" сложное уравнение $Du =u^3$ на последовательность более простых $Du_{n+1}=f(u_n)$. Но как это сделать, если в уравнении нет малого параметра? Один из способов - ввести малый параметр через краевые условия. Например, тупо положить $u(0)=\varepsilon$. Такой выбор как раз и приводит к нужному разложению.

Проиллюстрирую сказанное на конкретном примере. Рассмотрим задачу $u'+u=u^3, \; u(0)=\varepsilon$, точное решение которой известно:

$$u=\dfrac{\varepsilon}{\sqrt{\varepsilon^2+(1-\varepsilon^2) \ e^{2x}}}$$

Разложим это решение в ряд по $\varepsilon$ и получим

$$v=e^{-x}, \; a=\dfrac{1}{2}e^{-x}\left(1-e^{-2x}\right), \ ...$$

Эти же выражения могут быть найдены путём решения серии "расщеплённых" задач:

$$v'+v=0, \; v(0)=1$$

$$a'+a=v^3, \; a(0)=0$$

$$...$$

[mihiv]

Можно поэкспериментировать с уравнениями:

$$D(u_{n+1})=u_n^3$$

или

$$D(u_{n+1})=u_{n+1}u_n^2$$