Рассмотрим модельное уравнение

где

- некоторый линейный дифференциальный оператор. Предположим также, что уравнение "нулевого приближения"

имеет всюду ограниченное решение. Меня интересуют всюду ограниченные решения исходного уравнения, качественно не сильно отличающиеся от

. Для этого я составляю следующий ряд

где

, а

- малое, но конечное положительное число.
Далее я подставляю

в

и приравниваю нулю члены при одинаковых степенях

, что даёт мне цепочку уравнений. Точнее, даст, как только я определю, чему равны

Так вот, оказывается, что
дополнительное требование, чтобы цепочка разрешалась относительно

строго последовательно, однозначно определяет показатели степеней:

Таким образом, получается решение в виде

где

всюду ограничены.
Интересно, что последнее условие ограниченности коэффициентов разложения вида

приводит (для более сложных систем с кубической нелинейностью) к некоторым своеобразным ограничениям на нулевое приближение. Я уже не могу брать произвольное, лишь бы ограниченное

!
Сталкивались ли вы когда-либо со столь забавной ситуацией?