В тексте теоремы

не считается априорно характеристической функцией, до того момента, пока это не доказано.
В частности, здесь:
По прямой предельной теореме из доказанного следует

Но по условию теоремы

имеется в виду: существует подпоследовательность

последовательности

, притом сходящаяся к характеристической функции (соотв. некоторой ф.р.). Следовательно, в силу существования предела всей последовательности, этот предел и предел подпоследовательности совпадают,

,
т.е.

-- характеристическая.
почему утверждается, что характеристическая функция к которой стремится последовательность функций

точно такая же как и та к которой стремится последовательность функций

.
Что вся последовательность сходится именно к х.ф., не утверждалось, это нужно было доказать. Дефект обозначения. Напишите вместо

какую-нибудь

в обратной теореме.