2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Обратная предельная теорема
Сообщение27.03.2023, 22:58 


22/06/19
62
Доброго времени суток!
Разбираясь с доказательством обратной предельной теоремы столкнулся с непониманием. Там есть такие строки:

По прямой предельной теореме из доказанного следует
$$
f_{n_k}(t) \underset{n_k \rightarrow \infty}{\rightarrow} \int_{-\infty}^{\infty} e^{i t x} d F(x), t \in \mathbb{R}
$$
Но по условию теоремы
$$
f_n(t) \underset{n \rightarrow \infty}{\rightarrow} f(t), t \in \mathbb{R}
$$
Следовательно
$$
f(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{i t x} d F(x)$$ - характеристическая функция, соответствующая функции распределения $F$.

Вопрос такой: почему последовательность функций $f_{n_k}(t) $ сходится к функции $f(t)$ из условия теоремы? Иными словами я не понимаю почему утверждается, что характеристическая функция к которой стремится последовательность функций $f_{n_k}(t) $ точно такая же как и та к которой стремится последовательность функций $f_n(t)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обратная предельная теорема
Сообщение28.03.2023, 07:16 
Аватара пользователя


22/11/22
759
В тексте теоремы $f$ не считается априорно характеристической функцией, до того момента, пока это не доказано.
В частности, здесь:
upjump в сообщении #1587105 писал(а):
По прямой предельной теореме из доказанного следует
$$
f_{n_k}(t) \underset{n_k \rightarrow \infty}{\rightarrow} \int_{-\infty}^{\infty} e^{i t x} d F(x), t \in \mathbb{R}
$$
Но по условию теоремы
$$
f_n(t) \underset{n \rightarrow \infty}{\rightarrow} f(t), t \in \mathbb{R}
$$

имеется в виду: существует подпоследовательность $f_{n_k}$ последовательности $f_n$, притом сходящаяся к характеристической функции (соотв. некоторой ф.р.). Следовательно, в силу существования предела всей последовательности, этот предел и предел подпоследовательности совпадают,
upjump в сообщении #1587105 писал(а):
$$
f(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{i t x} d F(x)$$,
т.е. $f$ -- характеристическая.
upjump в сообщении #1587105 писал(а):
почему утверждается, что характеристическая функция к которой стремится последовательность функций $f_{n_k}(t) $ точно такая же как и та к которой стремится последовательность функций $f_n(t)$.

Что вся последовательность сходится именно к х.ф., не утверждалось, это нужно было доказать. Дефект обозначения. Напишите вместо $f$ какую-нибудь $\varphi$ в обратной теореме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обратная предельная теорема
Сообщение28.03.2023, 15:50 


22/06/19
62
Combat Zone, спасибо за пояснения!

Цитата:
Следовательно, в силу существования предела всей последовательности, этот предел и предел подпоследовательности совпадают


Я практически не знаю функциональный анализ и мои знания о последовательностях заканчиваются на числовых. Знаю что подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, что и исходная последовательность. Подскажите, пожалуйста, для последовательностей функций существует нечто подобное?

 Профиль  
                  
 
 Re: Обратная предельная теорема
Сообщение28.03.2023, 19:37 
Аватара пользователя


22/11/22
759
upjump в сообщении #1587221 писал(а):
Я практически не знаю функциональный анализ и мои знания о последовательностях заканчиваются на числовых.

В данном случае их достаточно. Поскольку речь идет о поточечной сходимости последовательности функций. То есть сходимости в каждой точке. А в каждой точке она числовая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обратная предельная теорема
Сообщение29.03.2023, 14:24 


22/06/19
62
Combat Zone, благодарю! Теперь стало понятно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: ihq.pl


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group