Обратная предельная теорема

[upjump]

Доброго времени суток!
Разбираясь с доказательством обратной предельной теоремы столкнулся с непониманием. Там есть такие строки:

По прямой предельной теореме из доказанного следует

$$ f_{n_k}(t) \underset{n_k \rightarrow \infty}{\rightarrow} \int_{-\infty}^{\infty} e^{i t x} d F(x), t \in \mathbb{R} $$

Но по условию теоремы

$$ f_n(t) \underset{n \rightarrow \infty}{\rightarrow} f(t), t \in \mathbb{R} $$

Следовательно

$$ f(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{i t x} d F(x)$$

- характеристическая функция, соответствующая функции распределения $F$.

Вопрос такой: почему последовательность функций $f_{n_k}(t) $ сходится к функции $f(t)$ из условия теоремы? Иными словами я не понимаю почему утверждается, что характеристическая функция к которой стремится последовательность функций $f_{n_k}(t) $ точно такая же как и та к которой стремится последовательность функций $f_n(t)$.

[Combat Zone]

В тексте теоремы $f$ не считается априорно характеристической функцией, до того момента, пока это не доказано.
В частности, здесь:

upjump в сообщении #1587105 писал(а):

По прямой предельной теореме из доказанного следует

$$ f_{n_k}(t) \underset{n_k \rightarrow \infty}{\rightarrow} \int_{-\infty}^{\infty} e^{i t x} d F(x), t \in \mathbb{R} $$

Но по условию теоремы

$$ f_n(t) \underset{n \rightarrow \infty}{\rightarrow} f(t), t \in \mathbb{R} $$

имеется в виду: существует подпоследовательность $f_{n_k}$ последовательности $f_n$, притом сходящаяся к характеристической функции (соотв. некоторой ф.р.). Следовательно, в силу существования предела всей последовательности, этот предел и предел подпоследовательности совпадают,

upjump в сообщении #1587105 писал(а):

$$ f(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{i t x} d F(x)$$

,

т.е. $f$ -- характеристическая.

upjump в сообщении #1587105 писал(а):

почему утверждается, что характеристическая функция к которой стремится последовательность функций $f_{n_k}(t) $ точно такая же как и та к которой стремится последовательность функций $f_n(t)$.

Что вся последовательность сходится именно к х.ф., не утверждалось, это нужно было доказать. Дефект обозначения. Напишите вместо $f$ какую-нибудь $\varphi$ в обратной теореме.

[upjump]

Combat Zone, спасибо за пояснения!

Цитата:

Следовательно, в силу существования предела всей последовательности, этот предел и предел подпоследовательности совпадают

Я практически не знаю функциональный анализ и мои знания о последовательностях заканчиваются на числовых. Знаю что подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, что и исходная последовательность. Подскажите, пожалуйста, для последовательностей функций существует нечто подобное?

[Combat Zone]

upjump в сообщении #1587221 писал(а):

Я практически не знаю функциональный анализ и мои знания о последовательностях заканчиваются на числовых.

В данном случае их достаточно. Поскольку речь идет о поточечной сходимости последовательности функций. То есть сходимости в каждой точке. А в каждой точке она числовая.

[upjump]

Combat Zone, благодарю! Теперь стало понятно.