что да, это конечно не операторное равенство, а определение оператора Гамильтона в самом общем случае:
Мне не очевидно то, о чем вы говорите. Наоборот, для меня очевидно, что операторное равенство
![$$\hat{K}=i\hbar\frac{\partial}{\partial t} - \hat{U}$$ $$\hat{K}=i\hbar\frac{\partial}{\partial t} - \hat{U}$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/d/91d94ed0eec1aa2f6b3875e2220b1e5682.png)
верно, где
![$\hat{K}$ $\hat{K}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/f/f5fdbd7dd5b6af766eeba45f9b41c34a82.png)
- это оператор кинетической энергии,
![$\hat{U}$ $\hat{U}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/8/2/c827023fcc3b2c873aae402363f4132882.png)
- оператор потенциальной энергии,
![$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$ $i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/0/9/9094164e6ee265950cae0414a89dda2782.png)
- оператор Гамильтона
Всё таки определитесь, это у вас определение или операторное равенство.
По
определению, оператором эволюции будем называть такой дифференциальный оператор:
![$$\hat{H}\equiv i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$$ $$\hat{H}\equiv i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/d/5/cd5fa2aed43f1ea450190b77c0820d4f82.png)
Выясним, нет ли у этого оператора еще какого-то физического смысла?
Для этого, подействуем оператором эволюции на волновую функцию де-Бройля:
![$$\hat{H}\psi=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}e^{-\frac{i}{\hbar}(rp+Et)}=Ee^{-\frac{i}{\hbar}(rp+Et)}=E\psi$$ $$\hat{H}\psi=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}e^{-\frac{i}{\hbar}(rp+Et)}=Ee^{-\frac{i}{\hbar}(rp+Et)}=E\psi$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/5/345e332933bcfc6e822b0e9f3f0728ed82.png)
Сравнивая левую и правую части полученного
равенства выясняем, что нам очень повезло: собственным значением оператора эволюции является энергия! Какой из этого можно сделать очевидный вывод? Да,
определенный нами оператор эволюции - это одновременно и оператор полной энергии, в определенных кругах иногда еще называемый оператором Гамильтона или гамильтонианом.
Теперь, по аналогии с классической механикой, для
определенного нами оператора эволюции, а по совместительству, как выяснилось, оператора Гамильтона, мы можем записать
равенство:
![$$\hat{H}\equiv i\hbar\frac{\partial}{\partial t}=\hat{K}+\hat{U}$$ $$\hat{H}\equiv i\hbar\frac{\partial}{\partial t}=\hat{K}+\hat{U}$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/0/7/907a4515d0db87656ac6136ab3000df482.png)
Операторы физических величин линейные (что важно) и эрмитовые (тут не важно), поэтому мы можем использовать для них операцию сложения и вычитания. Значит, отнимая от правой и левой части
![$\hat{U}$ $\hat{U}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/8/2/c827023fcc3b2c873aae402363f4132882.png)
получим
верное операторное равенство:
![$$ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}-\hat{U}=\hat{K}$$ $$ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}-\hat{U}=\hat{K}$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/8/65866cb9f58adb63f93cbfbcd5b340c882.png)