2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Непонятные моменты в многомерной теореме Лагранжа
Сообщение17.03.2023, 18:31 


17/03/23
23
мат-ламер
К этой формуле у меня есть серьезные вопросы. Как она вообще получилась?
Если использовать chain rule, то она дает композицию дифференциалов. А мы тут как-то избавились от композиции и написали скалярное произведение. Откуда-то вытащили $y-x$.
Более того, как тут следует понимать $F'(\theta)$?

У меня уже голова немного кругом идет от всего этого поскольку я окончательно запутался во всем этом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные моменты в многомерной теореме Лагранжа
Сообщение17.03.2023, 18:34 
Заслуженный участник


30/01/09
5747
Mad_Max в сообщении #1585779 писал(а):
мат-ламер
К этой формуле у меня есть серьезные вопросы. Как она вообще получилась?

Дайте мне время чуток посоображать. Вы пока побеседуйте с другими помогающими. Надеюсь на их помощь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные моменты в многомерной теореме Лагранжа
Сообщение17.03.2023, 19:22 


17/03/23
23
Padawan
Извините, а может Вы раскроете смысл Вашего комментария?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные моменты в многомерной теореме Лагранжа
Сообщение17.03.2023, 19:25 
Заслуженный участник


30/01/09
5747
Mad_Max в сообщении #1585718 писал(а):
Однако, правая часть $f'(x+\theta(y-x))\circ \varphi'(\theta)$ есть линейная функция из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$, то есть число равно функции. Они не могут быть равны так как это объекты совершенно другой природы.

Вот она, ошибка! Правая часть тут есть не линейная функция, а значение этой линейной функции на вполне конкретном $\theta$ .

-- Пт мар 17, 2023 20:46:38 --

Итак, у нас $f':R^n\to R$ и $\varphi':R\to R^n$ . Тогда $(f' \circ \varphi'):R\to R$ - линейная функция. Но нас интересует не это. Нас интересует $(f' \circ \varphi')(\theta)\in R $ , что есть конкретное число. А в координатах оно представляется как скалярное произведение $f' (\theta) \cdot  \varphi'$ , учитывая, что $\varphi'$ от $\theta$ не зависит.

Уже сам начал чего-то понимать. Или мне это только кажется?

-- Пт мар 17, 2023 20:59:46 --

мат-ламер в сообщении #1585792 писал(а):
А в координатах оно представляется как скалярное произведение $f' (\theta) \cdot  \varphi'$ ,

Подробнее это можно записать как $F'(\theta)=\nabla f (x+\theta (y-x)) \cdot (y-x)$ , учитывая, что $\varphi' = y-x$ .

-- Пт мар 17, 2023 21:06:16 --

мат-ламер в сообщении #1585772 писал(а):
А может $ \varphi'(\theta):\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}$ ? То есть это линейный функционал на $\mathbb{R}^m $, то есть элемент сопряжённого пространства к $\mathbb{R}^m$ . А значение этого функционала на каком-то векторе $z$ есть скалярное произведение $(y-x)\cdot z$ .

Это не так. Извиняюсь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные моменты в многомерной теореме Лагранжа
Сообщение17.03.2023, 20:11 


17/03/23
23
мат-ламер в сообщении #1585792 писал(а):
Mad_Max в сообщении #1585718 писал(а):
Однако, правая часть $f'(x+\theta(y-x))\circ \varphi'(\theta)$ есть линейная функция из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$, то есть число равно функции. Они не могут быть равны так как это объекты совершенно другой природы.

Вот она, ошибка! Правая часть тут есть не линейная функция, а значение этой линейной функции на вполне конкретном $\theta$ .

Извините, но я не соглашусь с этим! $f'(x+\theta(y-x))$ - это линейное отображение из $\mathbb{R}^m$ в $\mathbb{R}$, а $\varphi'(\theta)$ - также линейное отображение из $R$ в $\mathbb{R}^m$. Их композиция - это тоже линейное отображение! и мы не вычисляем эту композицию в точке!

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные моменты в многомерной теореме Лагранжа
Сообщение17.03.2023, 20:19 
Заслуженный участник


30/01/09
5747
Mad_Max в сообщении #1585798 писал(а):
Извините, но я не соглашусь с этим!

Возможно вы и правы. Но есть изоморфизм между линейными функциями из $R$ в $R$ и числами. Что позволяет в уме отождествлять эти объекты.

-- Пт мар 17, 2023 21:25:32 --

А вообще тут глобальный вопрос. :D Вот есть дифференцируемая функция $f:R\to R$ . Её производная в конкретной точке, это что, число, или линейное отображение (которое может задаваться числом)? Можем ли мы эти понятия не различать в тех случаях, когда это нам удобно? Или должны проводить тут строгое разделение? И мне кажется, что ваш вопрос из первого поста как раз про это.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные моменты в многомерной теореме Лагранжа
Сообщение17.03.2023, 23:06 


17/03/23
23
мат-ламер в сообщении #1585800 писал(а):
А вообще тут глобальный вопрос. :D Вот есть дифференцируемая функция $f:R\to R$ . Её производная в конкретной точке, это что, число, или линейное отображение (которое может задаваться числом)? Можем ли мы эти понятия не различать в тех случаях, когда это нам удобно? Или должны проводить тут строгое разделение? И мне кажется, что ваш вопрос из первого поста как раз про это.

Да в этом и есть мой вопрос и было бы неплохо если бы кто-нибудь вмешался и ответил бы на наши вопросы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные моменты в многомерной теореме Лагранжа
Сообщение18.03.2023, 07:18 


22/11/22
160
Всегда тоскливо отвечать на все эти вопросы. И есть причина, почему.

Mad_Max, вам уже предложили: хотите работать с дифференциалами - работайте с дифференциалами. Дифференциал слева $dF(\theta,h)=F'(\theta)h$ будет равен дифференциалу композиции справа. Ну и чудесно. Возьмите и его на единичном приращении аргумента, получите требуемое.

Что конкретно непонятно в этих двух строках?

С другой стороны, можно работать с матрицами дифференциалов - и тоже что-то получать. Разницы на выходе не будет. В первом случае будет равенство значений двух линейных отображений при конкретном значении аргумента, во втором - равенство их матриц в фиксированном базисе. Одинаковые равенства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные моменты в многомерной теореме Лагранжа
Сообщение18.03.2023, 17:55 
Заслуженный участник


30/01/09
5747
Хочу посмотреть на проблему немного с другой стороны. С одной стороны приращение функции на отрезке задаётся формулой: $ f(y)-f(x)=(f'(\varphi(\theta))\circ \varphi'(\theta))(1)=(f'(x+\theta(y-x))\circ \varphi'(\theta)) (1) $ . Никакого противоречия, что функция равна числу здесь нет. Это число, равное значению некоторой линейной функции $R\to R$ на числе $1$ . Но хочется преобразовать эту формулу в более удобный для применения вид. Учитывая, что значения функции $\varphi'(\theta)$ равно тождественно $y-x$ , нашу формулу можно переписать в виде $f(y)-f(x)=f'(x+\theta(y-x)) \cdot (y-x)$ , где точка у меня скалярное произведение, а $f'(x+\theta(y-x))$ уже не отображение $R^n \to R$ , а элемент пространства, сопряжённого к $R^n$ . Это градиент функции $f$ в точке $x+\theta(y-x)$ . И тут вопрос, насколько обстоятельно такой переход надо обосновывать, или он очевиден? Если будут мысли, отпишусь позднее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные моменты в многомерной теореме Лагранжа
Сообщение18.03.2023, 18:40 
Заслуженный участник


13/12/05
4423
мат-ламер
Скалярное произведение вовсе тут ни к чему. Градиент - это ковектор, скалярное произведение позволяет преобразовать его в вектор.

А вообще, мне кажется, что топикстарер - тролль.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные моменты в многомерной теореме Лагранжа
Сообщение18.03.2023, 20:04 
Заслуженный участник


30/01/09
5747
Padawan в сообщении #1585901 писал(а):
Скалярное произведение вовсе тут ни к чему. Градиент - это ковектор, скалярное произведение позволяет преобразовать его в вектор.

Это я понимаю. Просто в книгах для прикладников это формула часто приводится с скалярным произведением. Также как и формула определения градиента : $f(x+y)=f(x)+\nabla f(x)\cdot y+o(y)$ . И вспоминаю, что скалярное произведение задаёт общий вид линейного функционала в евклидовых пространствах.
Padawan в сообщении #1585901 писал(а):
А вообще, мне кажется, что топикстарер - тролль.

Ой не надо так сразу судить. Я помню, как будучи школьником пытался освоить основы матанализа, спотыкался на элементарных вещах.

Я понял тему так, что значение линейной функции $R \to R$ на единице есть число. И так как эта линейная функция задаётся числом, то возникает изоморфизм между такими функциями и числами. Это обычная ситуация в математике. Например, путём введения координат, можно установить изоморфизм между линейными операторами и матрицами. И об изоморфных объектах часто мыслят как о тождественных. И всё было объяснено уже в первых постах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные моменты в многомерной теореме Лагранжа
Сообщение18.03.2023, 21:15 
Заслуженный участник


18/01/15
2975
Padawan в сообщении #1585901 писал(а):
А вообще, мне кажется, что топикстарер - тролль.
Ой, таки же ж мене то же самое !

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные моменты в многомерной теореме Лагранжа
Сообщение25.03.2023, 04:57 


17/03/23
23
Padawan
Почему тролль? Никакой не тролль. Возник вопрос и я его задал. К счастью, Ваш первый комментарий помог мне разобраться. Спасибо за помощь!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group