Скалярное произведение вовсе тут ни к чему. Градиент - это ковектор, скалярное произведение позволяет преобразовать его в вектор.
Это я понимаю. Просто в книгах для прикладников это формула часто приводится с скалярным произведением. Также как и формула определения градиента :
![$f(x+y)=f(x)+\nabla f(x)\cdot y+o(y)$ $f(x+y)=f(x)+\nabla f(x)\cdot y+o(y)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/0/f/c0f2a426b8690dbfc4ad2991c6df1e3482.png)
. И вспоминаю, что скалярное произведение задаёт общий вид линейного функционала в евклидовых пространствах.
А вообще, мне кажется, что топикстарер - тролль.
Ой не надо так сразу судить. Я помню, как будучи школьником пытался освоить основы матанализа, спотыкался на элементарных вещах.
Я понял тему так, что значение линейной функции
![$R \to R$ $R \to R$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/6/6/a661da5941cbcd23538c3c045da87ca182.png)
на единице есть число. И так как эта линейная функция задаётся числом, то возникает изоморфизм между такими функциями и числами. Это обычная ситуация в математике. Например, путём введения координат, можно установить изоморфизм между линейными операторами и матрицами. И об изоморфных объектах часто мыслят как о тождественных. И всё было объяснено уже в первых постах.